Determine o comprimento de arco da curva r(t)=\left(t, t^{2}\right), com t \in[0,1].
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva \,r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr)\, no intervalo \,t\in[0,1]\,.
Informações dadas:
A curva paramétrica é \,r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr)\,.
O parâmetro varia em \,t\in[0,1]\,.
O que é pedido:
Calcular o comprimento da curva entre o ponto correspondente a \,t=0\, e o ponto correspondente a \,t=1\,.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A ideia do comprimento de uma curva paramétrica é somar (integrar) pequenos segmentos elementares ao longo da curva. Para uma curva dada por \,r(t)\, com \,t\in[a,b]\,, o comprimento \,L\, é dado pela fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui:
\,r'(t)\, é a derivada vetor de \,r(t)\, em relação a \,t (ou seja, a velocidade da partícula que percorre a curva).
\,\bigl\|r'(t)\bigr\|\, é a norma (módulo) desse vetor, que dá a velocidade escalar instantânea.
Integrando a velocidade ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.
Exemplo concreto e simples: se \,r(t)=(x(t),y(t))\,, então