Determine o comprimento de arco da curva r(t)=\left(t, t^{2}\right), com t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva \,r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr)\, no intervalo \,t\in[0,1]\,.
Informações dadas:
  • A curva paramétrica é \,r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr)\,.
  • O parâmetro varia em \,t\in[0,1]\,.
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento da curva entre o ponto correspondente a \,t=0\, e o ponto correspondente a \,t=1\,.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A ideia do comprimento de uma curva paramétrica é somar (integrar) pequenos segmentos elementares ao longo da curva. Para uma curva dada por \,r(t)\, com \,t\in[a,b]\,, o comprimento \,L\, é dado pela fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui:
  • \,r'(t)\, é a derivada vetor de \,r(t)\, em relação a \,t (ou seja, a velocidade da partícula que percorre a curva).
  • \,\bigl\|r'(t)\bigr\|\, é a norma (módulo) desse vetor, que dá a velocidade escalar instantânea.
  • Integrando a velocidade ao longo do intervalo obtemos o comprimento total.
Exemplo concreto e simples: se \,r(t)=(x(t),y(t))\,, então
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calcular a derivada do vetor posição \,r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr)\,.
Derivando componente a componente:
r'(t)=\bigl( \tfrac{d}{dt}t,\; \tfrac{d}{dt}t^{2}\bigr)=\bigl(1,\;2t\bigr).

Passo 4

Calcular a norma de \,r'(t)\, (explicando o porquê):
Usamos a fórmula da norma em \mathbb{R}^2:
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}.
Isso representa a velocidade escalar no instante \,t.

Passo 5

Montar a integral do comprimento usando o intervalo \,[0,1]\,:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.
Agora precisamos calcular essa integral. Vou transformar para uma forma mais simples fazendo a substituição \,x=2t\,.

Passo 6

Fazer a substituição \,x=2t\, para simplificar a integral.
  • Diferencial: \,dx=2\,dt então \,dt=\tfrac{dx}{2}\,.
  • Limites: quando \,t=0 temos \,x=0, e quando \,t=1 temos \,x=2.
Substituindo na integral:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}}\,dt=\int_{x=0}^{x=2}\sqrt{1+x^{2}}\cdot\frac{dx}{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\,dx.

Passo 7

Calcular a primitiva \,\displaystyle\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx\, passo a passo (método por partes).
Sejam \,I=\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx\,. Fazemos integração por partes escolhendo
  • \,u=\sqrt{1+x^{2}}\, então \,du=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
  • \,dv=dx\, então \,v=x\,.
Aplicando integração por partes \,\int u\,dv=uv-\int v\,du\,:
I = x\sqrt{1+x^{2}}-\int x\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = x\sqrt{1+x^{2}}-\int\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Agora escrevemos \,x^{2}=(1+x^{2})-1\, para simplificar a integral:
I = x\sqrt{1+x^{2}}-\int\frac{1+x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx+\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Isso é
I = x\sqrt{1+x^{2}}-\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx+\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Perceba que \,\int\sqrt{1+x^{2}}\,dx=I\,, então agrupando termos:
I = x\sqrt{1+x^{2}}-I+\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Portanto
2I = x\sqrt{1+x^{2}}+\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Conhecemos a primitiva \,\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname{arsinh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,. Assim
2I = x\sqrt{1+x^{2}}+\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)+C.
Dividindo por \,2\,:
I=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)+C.
Esta é a primitiva desejada.

Passo 8

Avaliar a integral definida \,\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\,dx\, usando a primitiva encontrada.
Usando a primitiva
F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr),
temos
\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\,dx=F(2)-F(0).
Calculemos F(2) e F(0):
  • Para \,x=2\,: \sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}, então
F(2)=\frac{2}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
  • Para \,x=0\,: \sqrt{1+0^{2}}=1, então
F(0)=\frac{0}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\ln\bigl(0+1\bigr)=0+\frac{1}{2}\ln(1)=0.
Portanto
\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\,dx=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Passo 9

Voltar ao comprimento \,L\, usando o fator \tfrac{1}{2} que apareceu na substituição.
Lembrando que
L=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^{2}}\,dx,
substituindo o resultado obtido:
L=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right) =\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)

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