Seja \mathrm{T}: \wp_{2} \rightarrow \wp_{3} transformação linear dada pela fórmula \mathrm{T}(\mathrm{p}(\mathrm{x}))=\mathrm{x} . \mathrm{p}(\mathrm{x}).
a) Quais dos seguintes vetores estão em \operatorname{Im}(\mathrm{T}) ?
i) x+x^{2}
ii) 1+\mathrm{x}
iii) 3-x^{2}
b) Quais dos seguintes vetores estão em \mathrm{N}(\mathrm{T}) ?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \mathrm{T}:\wp_{2}\to\wp_{3} dada por
\mathrm{T}\bigl(p(x)\bigr)=x\,p(x).
O que queremos é (a) caracterizar a imagem \mathrm{Im}(T) e ver quais dos polinômios dados pertencem a ela, e (b) caracterizar o núcleo \mathrm{N}(T) e verificar quais dos mesmos polinômios estão nele.

Passo 2

Pela definição,
\mathrm{Im}(T)=\{\,x\,p(x)\mid p(x)\in\wp_{2}\,\}.
Isso significa que todo polinômio em \mathrm{Im}(T) é divisível por x, ou seja, tem termo constante zero. Em outras palavras,
\mathrm{Im}(T)=\{a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid a_{i}\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Agora checamos cada vetor da parte (a):
i) x+x^{2} tem termo constante 0, logo é divisível por x. Portanto
x+x^{2}\in\mathrm{Im}(T).
ii) 1+x tem termo constante 1\neq0, não é divisível por x. Logo
1+x\notin\mathrm{Im}(T).
iii) 3 - x^{2} tem termo constante 3\neq0, também não é divisível por x. Logo
3 - x^{2}\notin\mathrm{Im}(T).

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos
\mathrm{T}(p(x))=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,p(x)=0\text{ (polinômio nulo).}ô
Como x não é o polinômio zero, a única forma de x\,p(x) ser o polinômio zero é p(x)=0. Portanto
\mathrm{N}(T)=\{0\}.

Passo 5

Verificando os mesmos polinômios no núcleo: nenhum deles é o polinômio zero, então
x+x^{2}\notin\mathrm{N}(T),\quad 1+x\notin\mathrm{N}(T),\quad 3-x^{2}\notin\mathrm{N}(T).

Resposta

a) Apenas x+x^{2} está em \mathrm{Im}(T).
b) Nenhum dos três está em \mathrm{N}(T)$ (o núcleo é só o polinômio zero).úéóô

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