Seja
transformação linear dada pela fórmula
.
a) Quais dos seguintes vetores estão em
?
i)
ii)
iii)
b) Quais dos seguintes vetores estão em
?
a) Quais dos seguintes vetores estão em
i)
ii)
iii)
b) Quais dos seguintes vetores estão em
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
O que queremos é (a) caracterizar a imagem
e ver quais dos polinômios dados pertencem a ela, e (b) caracterizar o núcleo
e verificar quais dos mesmos polinômios estão nele.
Passo 2
Pela definição,
Isso significa que todo polinômio em
é divisível por
, ou seja, tem termo constante zero. Em outras palavras,
Passo 3
Agora checamos cada vetor da parte (a):
i)
tem termo constante
, logo é divisível por
. Portanto
ii)
tem termo constante
, não é divisível por
. Logo
iii)
tem termo constante
, também não é divisível por
. Logo
Passo 4
Para o núcleo, resolvemos
Como
não é o polinômio zero, a única forma de
ser o polinômio zero é
. Portanto
Passo 5
Verificando os mesmos polinômios no núcleo: nenhum deles é o polinômio zero, então
Resposta
a) Apenas
está em
.
b) Nenhum dos três está em
b) Nenhum dos três está em