Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: \mathrm{h}: \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} ;\left(\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right) \mapsto\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado define a aplicação
h: M_{2\times2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\mapsto\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Para ser aplicação linear, h deve satisfazer as propriedades
h(X+Y)=h(X)+h(Y),
h(\lambda X)=\lambda\,h(X)
para todo X,Y\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e todo \lambda\in\mathbb{R}.
Passo 2
Vamos testar a homogeneidade. Usando a propriedade do determinante, temos
Para ser linear precisaríamos de \lambda^2\,h(X)=\lambda\,h(X) para todo \lambda, mas isso só ocorre se \lambda=0 ou \lambda=1. Portanto h não preserva multiplicação por escalar.
Passo 3
Podemos também ver a falha na aditividade com um exemplo simples. Seja