Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:
\mathrm{T}: \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;\left(\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right) \mapsto(\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}, 3 \mathrm{c}+\mathrm{d},-\mathrm{a}+\mathrm{c})

Passo 1

O enunciado fornece a aplicação \displaystyle T: M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^3
definida por \displaystyle T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\bigr) = (\,a - 2b,\;3c + d,\;-a + c\,).
O conteúdo é teoria de transformações lineares: para mostrar que T é linear, vamos verificar as propriedades de aditividade \;T(X+Y)=T(X)+T(Y); e de homogeneidade \;T(\lambda X)=\lambda\,T(X).

Passo 2

Sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}
e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a' & b'\c' & d'\end{pmatrix}
em M_{2\times2}(\mathbb{R}). Então \displaystyle X+Y=\begin{pmatrix}a+a' & b+b'\c+c' & d+d'\end{pmatrix},
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T(X+Y) = \bigl((a+a') - 2(b+b'),\;3(c+c') + (d+d'),\;-(a+a') + (c+c')\bigr).
Distribuindo, obtemos
T(X+Y) = \bigl(a - 2b,\;3c + d,\;-a + c\bigr) + \bigl(a' - 2b',\;3c' + d',\;-a' + c'\bigr) = T(X) + T(Y).

Passo 3

Para \lambda\in\mathbb{R}, temos \displaystyle \lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Então
T(\lambda X) = \bigl(\lambda a - 2\lambda b,\;3\lambda c + \lambda d,\;-\lambda a + \lambda c\bigr) = \lambda\,(a - 2b,\;3c + d,\;-a + c) = \lambda\,T(X).

Passo 4

Mostramos que T(X+Y)=T(X)+T(Y) e T(\lambda X)=\lambda\,T(X) para todos X,Y\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e todo \lambda\in\mathbb{R}. Portanto, T é aplicação linear.

Resposta

A função T é linear.

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