Q. 3 Seja A a matriz dada por A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 0 & 0 \\\\ 4 & -3 & 0 & 0 \\\\ -7 & 8 & 1 & 2 \\\\ 9 & 6 & -2 & 5\end{array}\right).
(a) Determine a matriz x I_{4}-A, sendo x \in \mathbb{R} \in I_{4} a matriz identidade de ordem 4 \times 4.
(b) Calcule o determinante \operatorname{det}\left(x I_{4}-A\right), em função de x.
(c) Calcule o determinante \operatorname{det}\left(2 I_{4}-A\right).
(d) Encontre todos os números reais x tais que \operatorname{det}\left(x I_{4}-A\right)=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 0 & 0\\[4pt] -7 & 8 & 1 & 2\\[4pt] 9 & 6 & -2 & 5 \end{pmatrix}
e pede quatro coisas:
(a) determinar a matriz xI_{4}-A (com x\in\mathbb{R});
(b) calcular \det\!\big(xI_{4}-A\big) em função de x;
(c) calcular \det\!\big(2I_{4}-A\big);
(d) achar todos os x\in\mathbb{R} tais que \det\!\big(xI_{4}-A\big)=0.
As informações relevantes são as entradas da matriz A (listadas acima) e que I_{4} é a identidade 4\times4. A partir disso precisamos formar xI_{4}-A e calcular determinantes.]

Passo 2

Formar xI_{4}-A. Lembre que \big(xI_{4}-A\big)_{ij}=x\delta_{ij}-A_{ij}, onde \delta_{ij} é 1 se i=j e 0 caso contrário. Substituindo entrada a entrada obtemos
xI_{4}-A= \begin{pmatrix} x-2 & 0-(-1) & 0-0 & 0-0\\[4pt] 0-4 & x-(-3) & 0-0 & 0-0\\[4pt] 0-(-7) & 0-8 & x-1 & 0-2\\[4pt] 0-9 & 0-6 & 0-(-2) & x-5 \end{pmatrix}.
Simplificando os sinais:
xI_{4}-A= \begin{pmatrix} x-2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -4 & x+3 & 0 & 0\\[4pt] 7 & -8 & x-1 & -2\\[4pt] -9 & -6 & 2 & x-5 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Observação estrutural que facilita muito o cálculo: a matriz xI_{4}-A tem a forma em blocos
xI_{4}-A=\begin{pmatrix}P & 0 \\[2pt] C & Q \end{pmatrix},
onde P e Q são matrizes 2\times2 e o bloco superior direito é a matriz nula. Para matrizes em bloco dessa forma (matriz triangular por blocos) vale a propriedade
\det\begin{pmatrix}P & 0 \\[2pt] C & Q \end{pmatrix}=\det(P)\cdot\det(Q).
Explicação curta do porquê: expandindo por blocos (ou fazendo operações elementares que não modificam o produto das determinantes) obtém-se que a determinant se separa como produto dos determinantes dos blocos diagonais quando o bloco superior direito é nulo.
Aqui, identificamos
P=\begin{pmatrix}x-2 & 1\\[4pt]-4 & x+3\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}x-1 & -2\\[4pt]2 & x-5\end{pmatrix}.
Portanto
\det\!\big(xI_{4}-A\big)=\det(P)\cdot\det(Q).]

Passo 4

Calcular \det(P). Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
temos \det=\;ad-bc. Aplicando em P:
\det(P)=(x-2)(x+3)- (1)(-4).
Computando:
(x-2)(x+3)- (1)(-4)= (x^2+x-6)+4 = x^2+x-2.
Fatorando o polinômio quadrático:
x^2+x-2=(x+2)(x-1).]

Passo 5

Calcular \det(Q). Usando a mesma fórmula para Q:
\det(Q)=(x-1)(x-5)-(-2)(2).
Computando:
(x-1)(x-5)-(-2)(2)=x^2-6x+5+4=x^2-6x+9.
Reconhece-se um quadrado perfeito:
x^2-6x+9=(x-3)^2.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\det\!\big(xI_{4}-A\big)=\det(P)\cdot\det(Q)=(x^2+x-2)\,(x^2-6x+9).
Usando as fatorações:
\det\!\big(xI_{4}-A\big)=(x+2)(x-1)(x-3)^2.
Se preferir a forma expandida, podemos multiplicar: primeiro (x+2)(x-1)=x^2+x-2 e depois multiplicar por (x-3)^2=x^2-6x+9. O polinômio expandido é
\det\!\big(xI_{4}-A\big)=x^4-4x^3-2x^2+20x-18,
mas para fins de raízes e avaliações a forma fatorada é mais prática.

Passo 7

Calcular \det\!\big(2I_{4}-A\big). Basta avaliar a expressão em x=2. Usando a forma fatorada:
\det\!\big(2I_{4}-A\big)=(2+2)(2-1)(2-3)^2=4\cdot1\cdot(-1)^2=4.

Passo 8

Encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que \det\!\big(xI_{4}-A\big)=0. Da forma fatorada
\det\!\big(xI_{4}-A\big)=(x+2)(x-1)(x-3)^2,
os zeros são as raízes dos fatores:
x=-2,\qquad x=1,\qquad x=3.
Observação sobre multiplicidade: x=3 é raiz de multiplicidade 2 (por causa do quadrado), enquanto x=-2 e x=1 são raízes simples.

Resposta

(a) xI_{4}-A= \begin{pmatrix} x-2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -4 & x+3 & 0 & 0\\[4pt] 7 & -8 & x-1 & -2\\[4pt] -9 & -6 & 2 & x-5 \end{pmatrix}
(b) \det\!\big(xI_{4}-A\big)=(x+2)(x-1)(x-3)^2
(c) \det\!\big(2I_{4}-A\big)=4
(d) x=-2,\quad x=1,\quad x=3]

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