Q. 3 Seja A a matriz dada por A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 0 & 0 \\\\ 4 & -3 & 0 & 0 \\\\ -7 & 8 & 1 & 2 \\\\ 9 & 6 & -2 & 5\end{array}\right).
(a) Determine a matriz x I_{4}-A, sendo x \in \mathbb{R} \in I_{4} a matriz identidade de ordem 4 \times 4.
(b) Calcule o determinante \operatorname{det}\left(x I_{4}-A\right), em função de x.
(c) Calcule o determinante \operatorname{det}\left(2 I_{4}-A\right).
(d) Encontre todos os números reais x tais que \operatorname{det}\left(x I_{4}-A\right)=0.
e pede quatro coisas:
(a) determinar a matriz xI_{4}-A (com x\in\mathbb{R});
(b) calcular \det\!\big(xI_{4}-A\big) em função de x;
(c) calcular \det\!\big(2I_{4}-A\big);
(d) achar todos os x\in\mathbb{R} tais que \det\!\big(xI_{4}-A\big)=0.
As informações relevantes são as entradas da matriz A (listadas acima) e que I_{4} é a identidade 4\times4. A partir disso precisamos formar xI_{4}-A e calcular determinantes.]
Passo 2
Formar xI_{4}-A. Lembre que \big(xI_{4}-A\big)_{ij}=x\delta_{ij}-A_{ij}, onde \delta_{ij} é 1 se i=j e 0 caso contrário. Substituindo entrada a entrada obtemos
Observação estrutural que facilita muito o cálculo: a matriz xI_{4}-A tem a forma em blocos
xI_{4}-A=\begin{pmatrix}P & 0 \\[2pt] C & Q \end{pmatrix},
onde P e Q são matrizes 2\times2 e o bloco superior direito é a matriz nula. Para matrizes em bloco dessa forma (matriz triangular por blocos) vale a propriedade
\det\begin{pmatrix}P & 0 \\[2pt] C & Q \end{pmatrix}=\det(P)\cdot\det(Q).
Explicação curta do porquê: expandindo por blocos (ou fazendo operações elementares que não modificam o produto das determinantes) obtém-se que a determinant se separa como produto dos determinantes dos blocos diagonais quando o bloco superior direito é nulo.