\begin{cases}x+2 y-z+w & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-k w & =0 \\\\ -x+y-2 z & =-1\end{cases}
a) (20 pontos) Determine k, de modo que o sistema não tenha solução.
b) ( 15 pontos) Assumindo que k=-2, determine a solução geral do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três equações lineares nas quatro incógnitas x,y,z,w\) com um parâmetro \(k\):
\[\begin{cases} x+2y-z+w = 1,\\[4pt] 2x-y+3z-k w = 0,\\[4pt] -x+y-2z = -1. \end{cases}
O que pede:
(a) Determinar k\] de modo que o sistema não tenha solução.
- (b) Assumindo \(k=-2, determinar a solução geral do sistema.
Estas são as informações do enunciado e as perguntas que precisamos responder.]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada e começar eliminação por linhas (operações elementares), escrevendo a matriz inicial (linhas correspondem às equações):
Queremos eliminar a coluna y (segunda coluna) da terceira linha usando a segunda linha. Para evitar frações fazemos uma combinação inteira: 5R_3 + 3R_2. Calculando:
5R_3 = [0,\\\ 15,\\\ -15,\\\ 5,\\\ 0].
3R_2 = [0,\\\ -15,\\\ 15,\\\ 3(-k-2),\\\ -6].
Somando: [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 5 + 3(-k-2),\\\ -6]. Simplificando o quarto elemento:
5 + 3(-k-2) = 5 -3k -6 = -3k -1.
Logo a combinação fornece a linha
[\,0\\\ 0\\\ 0\\\ -3k-1\\ |\\\ -6\,].
Isto corresponde à equação
(-3k-1)\,w = -6.
Agora o ponto conceitual importante (aula rápida): se, depois de eliminação, aparece uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b] com b\neq0, isso significa uma contradição 0=b e o sistema é inconsistente (não tem solução). Aqui, a linha é [0\\\ 0\\\ 0\\\ -3k-1\\ |\\\ -6]. Se o coeficiente de w for zero e o lado direito for -6\neq0, teremos uma contradição.
Portanto para o sistema não ter solução é necessário que
-3k-1=0.
Resolvendo:
-3k-1=0\quad\Rightarrow\quad k=-\dfrac{1}{3}.
Concluímos: quando k=-\dfrac{1}{3} a última linha fica [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -6] e o sistema não tem solução.
Passo 4
Agora parte (b): assumir k=-2 e resolver o sistema. Retomamos a matriz obtida em Passo 2 e substituímos k=-2. A segunda linha era [0,\\\ -5,\\\ 5,\\\ -k-2,\\\ -2]. Com k=-2 temos
Então a terceira linha passa a ser [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ -6/5], que corresponde à equação
w = -\dfrac{6}{5}.]
Passo 5
Com w conhecido, voltamos às equações das linhas acima e resolvemos por substituição:
Da linha R_2 (pivô em y) temos
y - z = \dfrac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad y = z + \dfrac{2}{5}.
Da primeira equação original (linha R_1):
x + 2y - z + w = 1.
Substituindo y = z + \dfrac{2}{5} e w = -\dfrac{6}{5}:
x + 2\Big(z+\dfrac{2}{5}\Big) - z - \dfrac{6}{5} = 1.
Calcule passo a passo:
x + 2z + \dfrac{4}{5} - z - \dfrac{6}{5} = 1
x + z - \dfrac{2}{5} = 1
x + z = 1 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}
x = \dfrac{7}{5} - z.
Passo 6
Temos uma incógnita livre: z não foi fixada por pivô, então escolhemos um parâmetro livre, digamos t\in\mathbb{R}, e colocamos z=t. Portanto a solução geral, em termos de t, é
x = \dfrac{7}{5} - t,\qquad y = t + \dfrac{2}{5},\qquad z = t,\qquad w = -\dfrac{6}{5},