( 35 pontos) Considere o sistema abaixo:
\begin{cases}x+2 y-z+w & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-k w & =0 \\\\ -x+y-2 z & =-1\end{cases}
a) (20 pontos) Determine k, de modo que o sistema não tenha solução.
b) ( 15 pontos) Assumindo que k=-2, determine a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares nas quatro incógnitas x,y,z,w\) com um parâmetro \(k\): \[\begin{cases} x+2y-z+w = 1,\\[4pt] 2x-y+3z-k w = 0,\\[4pt] -x+y-2z = -1. \end{cases}
O que pede:
  • (a) Determinar k\] de modo que o sistema não tenha solução. - (b) Assumindo \(k=-2, determinar a solução geral do sistema.
    Estas são as informações do enunciado e as perguntas que precisamos responder.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e começar eliminação por linhas (operações elementares), escrevendo a matriz inicial (linhas correspondem às equações):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 3 & -k & 0\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 0 & -1 \end{array}\right].
Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1,
para eliminar a primeira coluna nas linhas 2 e 3. Calculando elemento a elemento:
  • Para R_2: 2-2\cdot1=0,\\\ -1-2\cdot2=-5,\\\ 3-2(-1)=5,\\\ -k-2,\\\ 0-2\cdot1=-2.
  • Para R_3: -1+1=0,\\\ 1+2=3,\\\ -2+(-1)=-3,\\\ 0+1=1,\\\ -1+1=0.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 5 & -k-2 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -3 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Queremos eliminar a coluna y (segunda coluna) da terceira linha usando a segunda linha. Para evitar frações fazemos uma combinação inteira: 5R_3 + 3R_2. Calculando:
  • 5R_3 = [0,\\\ 15,\\\ -15,\\\ 5,\\\ 0].
  • 3R_2 = [0,\\\ -15,\\\ 15,\\\ 3(-k-2),\\\ -6].
    Somando: [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 5 + 3(-k-2),\\\ -6]. Simplificando o quarto elemento:
5 + 3(-k-2) = 5 -3k -6 = -3k -1.
Logo a combinação fornece a linha
[\,0\\\ 0\\\ 0\\\ -3k-1\\ |\\\ -6\,].
Isto corresponde à equação
(-3k-1)\,w = -6.
Agora o ponto conceitual importante (aula rápida): se, depois de eliminação, aparece uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b] com b\neq0, isso significa uma contradição 0=b e o sistema é inconsistente (não tem solução). Aqui, a linha é [0\\\ 0\\\ 0\\\ -3k-1\\ |\\\ -6]. Se o coeficiente de w for zero e o lado direito for -6\neq0, teremos uma contradição.
Portanto para o sistema não ter solução é necessário que
-3k-1=0.
Resolvendo:
-3k-1=0\quad\Rightarrow\quad k=-\dfrac{1}{3}.
Concluímos: quando k=-\dfrac{1}{3} a última linha fica [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ -6] e o sistema não tem solução.

Passo 4

Agora parte (b): assumir k=-2 e resolver o sistema. Retomamos a matriz obtida em Passo 2 e substituímos k=-2. A segunda linha era [0,\\\ -5,\\\ 5,\\\ -k-2,\\\ -2]. Com k=-2 temos
-k-2 = -(-2)-2 = 2-2 = 0.
Assim a matriz reduzida é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -3 & 1 & 0 \end{array}\right].
Dividindo a segunda linha por -5 (para obter pivô 1 na coluna y):
R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{5}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = [0,\\\ 1,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 2/5].
Agora eliminar y da terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2. Calculando:
R_3 - 3R_2 = [0,\\\ 3,\\\ -3,\\\ 1,\\\ 0] - [0,\\\ 3,\\\ -3,\\\ 0,\\\ 6/5] = [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ -6/5].
Então a terceira linha passa a ser [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ -6/5], que corresponde à equação
w = -\dfrac{6}{5}.]

Passo 5

Com w conhecido, voltamos às equações das linhas acima e resolvemos por substituição:
  • Da linha R_2 (pivô em y) temos
y - z = \dfrac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad y = z + \dfrac{2}{5}.
  • Da primeira equação original (linha R_1):
x + 2y - z + w = 1.
Substituindo y = z + \dfrac{2}{5} e w = -\dfrac{6}{5}:
x + 2\Big(z+\dfrac{2}{5}\Big) - z - \dfrac{6}{5} = 1.
Calcule passo a passo:
x + 2z + \dfrac{4}{5} - z - \dfrac{6}{5} = 1
x + z - \dfrac{2}{5} = 1
x + z = 1 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}
x = \dfrac{7}{5} - z.

Passo 6

Temos uma incógnita livre: z não foi fixada por pivô, então escolhemos um parâmetro livre, digamos t\in\mathbb{R}, e colocamos z=t. Portanto a solução geral, em termos de t, é
x = \dfrac{7}{5} - t,\qquad y = t + \dfrac{2}{5},\qquad z = t,\qquad w = -\dfrac{6}{5},
para todo t\in\mathbb{R}. Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[3pt]y\\[3pt]z\\[3pt]w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/5\\[3pt]2/5\\[3pt]0\\[3pt]-6/5\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[3pt]1\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

a) k=-\dfrac{1}{3}
b) \displaystyle (x,y,z,w)=\Big(\dfrac{7}{5}-t,\;t+\dfrac{2}{5},\;t,\;-\dfrac{6}{5}\Big),\\ t\in\mathbb{R}

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