Para operadores lineares de R^2 representados matricialmente por (ll5 & -6 3 & -2),(ll1 & -1 2 & -1) e (cc5 & -1 1 & 3), determine:
a) autovalores e autovetores;
b) multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor;
c) se são diagonalizáveis.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em R^2 e pede, para cada uma:
– (a) autovalores e autovetores;
– (b) multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor;
– (c) se é diagonalizável.
Para isso vamos calcular o polinômio característico via determinante det(A-lambda I), resolver suas raízes, achar as soluções de (A-lambda I)v=0 e comparar multiplicidades algébricas (raiz do polinômio) e geométricas (dimensão do espaço próprio).

Passo 2

Matriz A=5 & -63 & -2.
O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det5-lambda & -63 & -2-lambda =(5-lambda)(-2-lambda)+18 =lambda^2-3lambda+8
Sua equação lambda^2-3lambda+8=0 tem discriminante De<a=9-32=-23<0, logo não há autovalores reais. Consequentemente, não existem autovetores em R^2, e A não é diagonalizável sobre R.

Passo 3

Matriz B=1 & -12 & -1.
O polinômio característico é
detl(B-lambda Ir) =det1-lambda & -12 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)+2 =lambda^2+1
A equação lambda^2+1=0 lambda=pm i, sem raízes reais. Logo, não há autovalores nem autovetores em R^2, e B não é diagonalizável sobre R.

Passo 4

Matriz .
O polinômio característico é
Há um único autovalor real com multiplicidade algébrica . Para achar o espaço próprio, resolvemos
portanto o espaço próprio é , de dimensão . Assim a multiplicidade geométrica é . Como a geométrica algébrica, não é diagonalizável.

Resposta

Para
A=5 & -63 & -2:
(a) não tem autovalores reais nem autovetores em R^2.
(b) não há multiplicidades em R.
(c) não é diagonalizável sobre R.
Para
B=1 & -12 & -1:
(a) não tem autovalores reais nem autovetores em R^2.
(b) não há multiplicidades em R.
(c) não é diagonalizável sobre R.
Para
C=5 & -11 & 3:
(a) autovalor lambda=4 e autovetores (t,t), tneq0.
(b) multiplicidade algébrica 2, geométrica 1.
(c) não é diagonalizável.

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