Para operadores lineares de representados matricialmente por e (cc5 & -1 1 & 3), determine:
a) autovalores e autovetores;
b) multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor;
c) se são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado dá três matrizes em R^2 e pede, para cada uma:
– (a) autovalores e autovetores;
– (b) multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor;
– (c) se é diagonalizável.
Para isso vamos calcular o polinômio característico via determinante det(A-lambda I), resolver suas raízes, achar as soluções de (A-lambda I)v=0 e comparar multiplicidades algébricas (raiz do polinômio) e geométricas (dimensão do espaço próprio).
Passo 2
Matriz A=5 & -63 & -2.
O polinômio característico é
Sua equação lambda^2-3lambda+8=0 tem discriminante De<a=9-32=-23<0, logo não há autovalores reais. Consequentemente, não existem autovetores em R^2, e A não é diagonalizável sobre R.
Passo 3
Matriz B=1 & -12 & -1.
O polinômio característico é