Verifique se a matriz
B=(ll 4 & 1 2 & 3 )
é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre a matriz diagonal correspondente e a matriz da transformação linear associada a ela.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 4 & 12 & 3
e pede para verificar se ela é diagonalizável. Se for, queremos encontrar a matriz diagonal correspondente e a matriz da transformação linear associada a ela (isto é, a forma de B em uma base de autovetores).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de B. Chamando lambda o autovalor, temos
det(B - lambda I) = det!4-lambda & 12 & 3-lambda = (4-lambda)(3-lambda) - 2
Expandindo,
(4-lambda)(3-lambda) - 2 = 12 -4lambda -3lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 -7lambda + 10

Passo 3

Resolvendo lambda^2 -7lambda +10=0, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm 32
Logo os autovalores são
lambda1 = 5, lambda2 = 2
Como são distintos, concluímos que B é diagonalizável.

Passo 4

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para , resolvemos :
Podemos escolher .
Para , resolvemos :
Podemos escolher .

Passo 5

Formamos a matriz de mudança de base cujas colunas são os autovetores v1,v2:
P = 1 & 11 & -2
Em seguida, a matriz diagonal D cujas entradas são os autovalores na mesma ordem é
D = 5 & 00 & 2
Verifica-se que
P^-1 B,P = D,
ou seja,
B = P,D,P^-1
Para referência, o inverso de P é
det P = (1)(-2) - (1)(1) = -3, P^-1 = -tfrac13 -2 & -1-1 & 1 = 2/3 & 1/31/3 & -1/3

Resposta

Sim, B é diagonalizável. A matriz diagonal correspondente (isto é, a forma de B na base de autovetores) é
D = 5 & 00 & 2,
e a matriz da transformação linear associada nessa base é precisamente D. A mudança de base que faz B virar D é dada por
P = 1 & 11 & -2, P^-1 = 2/3 & 1/31/3 & -1/3,
com B = P,D,P^-1.

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