Sejam as matrizes A e P elementos do conjunto de matrizes M_{n \times n}, tal que P não é singular. Mostre que \left(P^{-1} A P\right)^{k}=P^{-1} A^{k} P.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas A,P\in M_{n\times n} com P invertível, vale
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{k}=P^{-1}A^{k}P
para todo inteiro k\ge1. O conteúdo aqui é o comportamento de potências sob semelhança de matrizes, e vamos usar indução matemática e a propriedade PP^{-1}=I.

Passo 2

Base da indução k=1.
Por definição de potência,
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{1}=P^{-1}AP,
o que coincide com P^{-1}A^{1}P. Logo, a propriedade é verdadeira para k=1.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que a igualdade seja válida para algum k\ge1, ou seja,
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{k}=P^{-1}A^{k}P.
Então, para k+1 temos
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{k+1} =\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{k}\,(P^{-1}AP).
Pelo passo indutivo substituímos o primeiro fator e obtemos
P^{-1}A^{k}P\;(P^{-1}AP) =P^{-1}A^{k}\,\bigl(PP^{-1}\bigr)\,A\,P.
Como PP^{-1}=I, isto vira
P^{-1}A^{k}\,I\,A\,P =P^{-1}A^{k+1}P,
o que conclui o passo de indução.

Resposta

Portanto, por indução, \bigl(P^{-1}AP\bigr)^{k}=P^{-1}A^{k}P para todo k\in\mathbb{N}.

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