Sejam as matrizes
e
elementos do conjunto de matrizes
, tal que
não é singular. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas
com
invertível, vale
para todo inteiro
. O conteúdo aqui é o comportamento de potências sob semelhança de matrizes, e vamos usar indução matemática e a propriedade
.
Passo 2
Base da indução
.
Por definição de potência,
Por definição de potência,
o que coincide com
. Logo, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que a igualdade seja válida para algum , ou seja,
Suponha que a igualdade seja válida para algum
Então, para
temos
Pelo passo indutivo substituímos o primeiro fator e obtemos
Como
, isto vira
o que conclui o passo de indução.
Resposta
Portanto, por indução,
para todo
.