Seja
uma isometria de um espaço euclidiano
. Mostrar que
conserva o cosseno do angulo entre dois vetores não nulos de $V.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma isometria num espaço euclidiano
, então para quaisquer vetores não nulos
o cosseno do ângulo entre
e
é o mesmo que entre
e
. Vamos usar que isometria significa preserva normas (distâncias) e a definição de cosseno do ângulo via produto interno.
Passo 2
Mostramos primeiro que
preserva o produto interno. Pela identidade de polarização em espaços reais vale
Como
é isometria,
para todo
, e também
. Logo
Passo 3
Pela definição de cosseno do ângulo entre dois vetores não nulos temos
Então, usando a preservação do produto interno e das normas,