Seja T uma isometria de um espaço euclidiano V. Mostrar que T conserva o cosseno do angulo entre dois vetores não nulos de $V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se T é uma isometria num espaço euclidiano V, então para quaisquer vetores não nulos x,y\in V o cosseno do ângulo entre x e y é o mesmo que entre T x e T y. Vamos usar que isometria significa preserva normas (distâncias) e a definição de cosseno do ângulo via produto interno.

Passo 2

Mostramos primeiro que T preserva o produto interno. Pela identidade de polarização em espaços reais vale
\langle u,v\rangle \;=\;\tfrac12\bigl(\|u\|^2+\|v\|^2-\|u-v\|^2\bigr).
Como T é isometria, \|T w\|=\|w\| para todo w, e também \|T u-T v\|=\|u-v\|. Logo
\langle T x,\,T y\rangle =\tfrac12\bigl(\|T x\|^2+\|T y\|^2-\|T x-T y\|^2\bigr) =\tfrac12\bigl(\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\bigr) =\langle x,y\rangle.

Passo 3

Pela definição de cosseno do ângulo entre dois vetores não nulos temos
\cos\theta(x,y) =\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\;\|y\|}.
Então, usando a preservação do produto interno e das normas,
\cos\theta\bigl(Tx,Ty\bigr) =\frac{\langle T x,T y\rangle}{\|T x\|\;\|T y\|} =\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\;\|y\|} =\cos\theta(x,y).

Resposta

\displaystyle \cos\theta(Tx,Ty)=\cos\theta(x,y) para todo x,y\neq0.

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