(a) Mostre que a matriz associada ao sistema pode ser decomposta na forma L U.
(b) Resolva o sistema usando a decomposição L U.
(c) Calcule o determinante da matriz associada ao sistema A, usando a decomposição L U.
O enunciado pede:
(a) Mostrar que a matriz associada A pode ser decomposta na forma L U.
(b) Resolver o sistema usando a decomposição L U.
(c) Calcular \det(A) usando a decomposição L U.]
Passo 2
Breve explicação do que é a decomposição L U e qual método vamos usar (aula rápida):
A decomposição L U procura matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tais que A=L U.
No método de Doolittle escolhemos L com 1’s na diagonal e computamos os multiplicadores da eliminação gaussiana como entradas abaixo da diagonal em L; as linhas transformadas formam U.
Condição prática para existir L U sem permutações: os menores principais (pivôs) devem ser diferentes de zero (por exemplo a_{11}\neq0 e o determinante do bloco principal 2\times2 também diferente de zero). Verificaremos isso e, em seguida, faremos a eliminação e anotaremos os multiplicadores em L.
Passo 3
Verificação dos pivôs principais (para garantir que não precisamos trocar linhas):
Linha 2 nova: \text{linha}_2 := \text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1. Como m_{21}=-\tfrac{1}{5} isso equivale a \text{linha}_2 + \tfrac{1}{5}\text{linha}_1.
Calculemos em frações:
Aplicamos: \text{linha}_3'' := \text{linha}_3' - m_{32}\,\text{linha}_2'. Como m_{32}=-\tfrac{19}{22} isso equivale a \text{linha}_3' + \tfrac{19}{22}\,\text{linha}_2'.
Calculemos a terceira linha resultante em frações:
Para a forma de Doolittle que usamos, L tem 1’s na diagonal, então \det(L)=1.
Assim \det(A)=\det(U), e para matriz triangular \det(U) é o produto dos elementos da diagonal principal de U.
Os diagonais de U são 5,\\ \tfrac{22}{5},\\ \tfrac{23}{2}. Logo