Seja o sistema
\left\{\begin{array}{c} 5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=-12 \\\ -x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=20 \\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+10 x_{3}=3 \end{array}\right.
(a) Mostre que a matriz associada ao sistema pode ser decomposta na forma L U.
(b) Resolva o sistema usando a decomposição L U.
(c) Calcule o determinante da matriz associada ao sistema A, usando a decomposição L U.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 5 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=-12,\\[4pt] - x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}=20,\\[4pt] 2 x_{1}-3 x_{2}+10 x_{3}=3 \end{array}\right.
As informações relevantes que temos são:
A=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\[4pt]-1 & 4 & 2\\[4pt]2 & -3 & 10\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad b=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]20\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
(a) Mostrar que a matriz associada A pode ser decomposta na forma L U.
(b) Resolver o sistema usando a decomposição L U.
(c) Calcular \det(A) usando a decomposição L U.]

Passo 2

Breve explicação do que é a decomposição L U e qual método vamos usar (aula rápida):
  • A decomposição L U procura matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tais que A=L U.
  • No método de Doolittle escolhemos L com 1’s na diagonal e computamos os multiplicadores da eliminação gaussiana como entradas abaixo da diagonal em L; as linhas transformadas formam U.
  • Condição prática para existir L U sem permutações: os menores principais (pivôs) devem ser diferentes de zero (por exemplo a_{11}\neq0 e o determinante do bloco principal 2\times2 também diferente de zero). Verificaremos isso e, em seguida, faremos a eliminação e anotaremos os multiplicadores em L.

Passo 3

Verificação dos pivôs principais (para garantir que não precisamos trocar linhas):
  • Primeiro pivô: a_{11}=5, que é diferente de zero.
  • Determinante do bloco principal 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix}=5\cdot4-(-1)\cdot2=20+2=22\neq0.
Como os pivôs principais são não nulos, podemos proceder à decomposição L U sem permutações.]

Passo 4

Inicio da eliminação (computação de U e dos multiplicadores que viram L). Escrevo A para referência:
A=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\[4pt]-1 & 4 & 2\\[4pt]2 & -3 & 10\end{pmatrix}.
Definimos os multiplicadores
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5},\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{5}.
Aplicando a eliminação nas linhas 2 e 3:
  • Linha 2 nova: \text{linha}_2 := \text{linha}_2 - m_{21}\,\text{linha}_1. Como m_{21}=-\tfrac{1}{5} isso equivale a \text{linha}_2 + \tfrac{1}{5}\text{linha}_1.
    Calculemos em frações:
\text{linha}_2'=\begin{pmatrix}-1 & 4 & 2\end{pmatrix}+\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{11}{5}\end{pmatrix}.
  • Linha 3 nova: \text{linha}_3 := \text{linha}_3 - m_{31}\,\text{linha}_1 com m_{31}=\tfrac{2}{5}:
\text{linha}_3'=\begin{pmatrix}2 & -3 & 10\end{pmatrix}-\tfrac{2}{5}\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{19}{5} & \tfrac{48}{5}\end{pmatrix}.
Assim, após a primeira etapa, a matriz transformada (que contém os primeiros pivôs de U) é
\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{11}{5}\\[4pt] 0 & -\tfrac{19}{5} & \tfrac{48}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Segunda etapa de eliminação para zerar a entrada abaixo do pivô \tfrac{22}{5} (posição (3,2)). Computamos o multiplicador
m_{32}=\frac{\text{entrada }(3,2)\\ \text{na matriz transformada}}{\text{pivô }(2,2)} =\frac{-\tfrac{19}{5}}{\tfrac{22}{5}}=-\frac{19}{22}.ô
Aplicamos: \text{linha}_3'' := \text{linha}_3' - m_{32}\,\text{linha}_2'. Como m_{32}=-\tfrac{19}{22} isso equivale a \text{linha}_3' + \tfrac{19}{22}\,\text{linha}_2'.
Calculemos a terceira linha resultante em frações:
  • Segunda entrada fica zero por construção.
  • Terceira entrada:
\tfrac{48}{5} + \tfrac{19}{22}\cdot\tfrac{11}{5} =\tfrac{48}{5} + \tfrac{19\cdot11}{22\cdot5} =\tfrac{48}{5} + \tfrac{19}{10} =\tfrac{96}{10}+\tfrac{19}{10}=\tfrac{115}{10}=\tfrac{23}{2}.
Portanto o U final (matriz triangular superior) tem como linhas:
U=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{11}{5}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{23}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Construção da matriz L a partir dos multiplicadores usados na eliminação (método de Doolittle usa 1’s na diagonal):
  • Os multiplicadores foram m_{21}=-\tfrac{1}{5}, m_{31}=\tfrac{2}{5} e m_{32}=-\tfrac{19}{22}.
    Logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{5} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{19}{22} & 1 \end{pmatrix}.
Podemos então afirmar que A=L U. (Se quiser, multiplique L por U e verá que recupera a matriz A.)]

Passo 7

Resolvendo o sistema A x = b via L U x = b. Primeiro fazemos L y = b (substituição progressiva) e depois U x = y (substituição regressiva).
Escrevendo b=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]20\\[4pt]3\end{pmatrix} e y=(y_1,y_2,y_3)^T.
Equações de L y=b:
  1. 1\cdot y_1 = -12 \Rightarrow y_1=-12.
  2. -\tfrac{1}{5}y_1 + 1\cdot y_2 = 20 \Rightarrow y_2=20 -\big(-\tfrac{1}{5}y_1\big)=20-\big(-\tfrac{1}{5}\cdot(-12)\big). Calcule:
-\tfrac{1}{5}\cdot(-12)=\tfrac{12}{5},\quad y_2=20-\tfrac{12}{5}=\tfrac{100-12}{5}=\tfrac{88}{5}.
  1. \tfrac{2}{5}y_1 -\tfrac{19}{22}y_2 + y_3 =3 \Rightarrow y_3=3-\tfrac{2}{5}y_1 +\tfrac{19}{22}y_2. Substituindo y_1=-12 e y_2=\tfrac{88}{5}:
\tfrac{2}{5}y_1=\tfrac{2}{5}\cdot(-12)=-\tfrac{24}{5},\qquad -\tfrac{19}{22}y_2=-\tfrac{19}{22}\cdot\tfrac{88}{5}=-\tfrac{19\cdot4}{5}=-\tfrac{76}{5}.
Então \tfrac{2}{5}y_1 -\tfrac{19}{22}y_2 = -\tfrac{24}{5}-\tfrac{76}{5}=-\tfrac{100}{5}=-20. Assim
y_3=3-(-20)=23.
Portanto
y=\begin{pmatrix}-12\\[4pt]\tfrac{88}{5}\\[4pt]23\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvemos U x = y por substituição regressiva. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3)^T:
Equações de U x = y:
  1. \tfrac{23}{2}x_3 = y_3 = 23. Logo
x_3=\frac{23}{\tfrac{23}{2}}=2.
  1. \tfrac{22}{5}x_2 + \tfrac{11}{5}x_3 = y_2 = \tfrac{88}{5}. Substituindo x_3=2:
\tfrac{22}{5}x_2 + \tfrac{11}{5}\cdot2=\tfrac{88}{5} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{22}{5}x_2 + \tfrac{22}{5}=\tfrac{88}{5}
\Rightarrow \tfrac{22}{5}x_2=\tfrac{66}{5}\quad\Rightarrow\quad x_2=3.
  1. 5 x_1 + 2 x_2 + 1 x_3 = y_1 = -12. Substituindo x_2=3, x_3=2:
5 x_1 + 2\cdot3 + 2 = -12\quad\Rightarrow\quad 5 x_1 +8 = -12
\Rightarrow\quad 5 x_1 = -20\quad\Rightarrow\quad x_1 = -4.
Portanto a solução do sistema é
x=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 9

Cálculo do determinante usando L U:
  • Sabemos que \det(A)=\det(L)\det(U).
  • Para a forma de Doolittle que usamos, L tem 1’s na diagonal, então \det(L)=1.
  • Assim \det(A)=\det(U), e para matriz triangular \det(U) é o produto dos elementos da diagonal principal de U.
    Os diagonais de U são 5,\\ \tfrac{22}{5},\\ \tfrac{23}{2}. Logo
\det(A)=5\cdot\tfrac{22}{5}\cdot\tfrac{23}{2} =\cancel{5}\cdot\tfrac{22}{\cancel{5}}\cdot\tfrac{23}{2} =\tfrac{22\cdot23}{2}=11\cdot23=253.

Resposta

(a) L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-\tfrac{1}{5} & 1 & 0\\[4pt]\tfrac{2}{5} & -\tfrac{19}{22} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\[4pt]0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{11}{5}\\[4pt]0 & 0 & \tfrac{23}{2}\end{pmatrix}
(b) x=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]2\end{pmatrix}
(c) \det(A)=253]

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