Determine os valores de a, b e c para que o sistema possa ser decomposto nos fatores de Cholesky. A partir desta decomposição, resolva o sistema.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de a, b e c para que a matriz do sistema possa ser decomposta nos fatores de Cholesky; (2) a partir dessa decomposição, resolver o sistema linear.
As informações dadas são a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] a & 10 & b\\[4pt] c & 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]
Passo 2
Primeira condição necessária para existir decomposição de Cholesky: a matriz tem de ser simétrica. Isso implica igualdade entre entradas simétricas. Portanto impomos
Para garantir que a decomposição de Cholesky exista de fato precisamos que A seja definida positiva. Uma forma prática (para matrizes simétricas 3\times3) é verificar os menores principais leading principal minors:
Essas fórmulas vêm de comparar entrada a entrada de A com LL^{T}: por exemplo a_{11}=\ell_{11}^{2}, a_{21}=\ell_{21}\ell_{11}, a_{22}=\ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2}, etc.]