Seja o sistema
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ a & 10 & b \\ c & 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -6 \end{array}\right]
Determine os valores de a, b e c para que o sistema possa ser decomposto nos fatores de Cholesky. A partir desta decomposição, resolva o sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de a, b e c para que a matriz do sistema possa ser decomposta nos fatores de Cholesky; (2) a partir dessa decomposição, resolver o sistema linear.
As informações dadas são a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] a & 10 & b\\[4pt] c & 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeira condição necessária para existir decomposição de Cholesky: a matriz tem de ser simétrica. Isso implica igualdade entre entradas simétricas. Portanto impomos
a=A_{21}=A_{12}=1,\qquad b=A_{23}=A_{32}=2,\qquad c=A_{31}=A_{13}=-1.
Logo
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 10 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para garantir que a decomposição de Cholesky exista de fato precisamos que A seja definida positiva. Uma forma prática (para matrizes simétricas 3\times3) é verificar os menores principais leading principal minors:
\Delta_1=a_{11}=2>0.
\Delta_2=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 10\end{pmatrix}=2\cdot 10-1\cdot 1=20-1=19>0.
Calcule o determinante total \Delta_3=\det(A). Usando expansão pela primeira linha:
\Delta_3=2\det\begin{pmatrix}10&2\\[4pt]2&4\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]-1&4\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}1&10\\[4pt]-1&2\end{pmatrix}.
Calcule cada termo:
2(10\cdot4-2\cdot2)=2(40-4)=72,
-1(1\cdot4-2(-1))=-1(4+2)=-6,
-1(1\cdot2-10(-1))=-1(2+10)=-12.
Somando: \Delta_3=72-6-12=54>0. Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva e a decomposição de Cholesky existe.]

Passo 4

Explico o método de Cholesky (passo-a-passo): procuramos uma matriz triangular inferior L tal que
A = L L^{T},
onde
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix}.
Igualando A e LL^{T} obtemos as fórmulas (cada uma será usada e explicada):
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}},\qquad \ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{\ell_{11}}\\ (i=2,3),
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}},\qquad \ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}},
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}.
Essas fórmulas vêm de comparar entrada a entrada de A com LL^{T}: por exemplo a_{11}=\ell_{11}^{2}, a_{21}=\ell_{21}\ell_{11}, a_{22}=\ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2}, etc.]

Passo 5

Calcule \ell_{11},\ell_{21},\ell_{31}:
\ell_{11}=\sqrt{2}.
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Calcule \ell_{22} usando \ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}:
\ell_{22}=\sqrt{10-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}} =\sqrt{10-\frac{1}{2}} =\sqrt{\frac{19}{2}}.

Passo 7

Calcule \ell_{32}=\dfrac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}}. Primeiro o numerador:
a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}=2-\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =2-(-\tfrac{1}{2})=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Agora
\ell_{32}=\frac{\tfrac{5}{2}}{\sqrt{\tfrac{19}{2}}=\sqrt{\tfrac{19}{2}}} =\frac{5}{2}\sqrt{\frac{2}{19}} =\frac{5}{\sqrt{38}}.
(Explicação rápida: \sqrt{19/2}=\sqrt{19}/\sqrt{2}, simplificando dá \ell_{32}=5/\sqrt{38}.)

Passo 8

Calcule \ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}. Temos
\ell_{31}^{2}=\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2},\qquad \ell_{32}^{2}=\left(\frac{5}{\sqrt{38}}\right)^{2}=\frac{25}{38}.
Então
\ell_{33}^{2}=4-\frac{1}{2}-\frac{25}{38}.
Colocando em denominador comum 38:
4=\frac{152}{38},\quad \frac{1}{2}=\frac{19}{38},
\ell_{33}^{2}=\frac{152-19-25}{38}=\frac{108}{38}=\frac{54}{19}.
Portanto
\ell_{33}=\sqrt{\frac{54}{19}}.

Passo 9

Escrevemos a matriz L encontrada:
L=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\dfrac{19}{2}} & 0\\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{5}{\sqrt{38}} & \sqrt{\dfrac{54}{19}} \end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): LL^{T} reproduz A — já garantido pelos cálculos acima.]

Passo 10

Agora vamos resolver o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando a decomposição A=LL^{T}. O procedimento é:
  1. resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição progressiva (forward substitution);
  2. resolver L^{T}\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição regressiva (back substitution).
Começamos por L\mathbf{y}=\mathbf{b}. Escrevendo as equações (com \mathbf{b}=(3,6,-6)^{T}):
\ell_{11}y_{1}=3,
\ell_{21}y_{1}+\ell_{22}y_{2}=6,
\ell_{31}y_{1}+\ell_{32}y_{2}+\ell_{33}y_{3}=-6.

Passo 11

Calcule y_1,y_2,y_3 passo a passo.
Primeira equação:
y_{1}=\frac{3}{\ell_{11}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Segunda equação:
\ell_{21}y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}.
Então
y_{2}=\frac{6-\frac{3}{2}}{\ell_{22}}=\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{\frac{19}{2}}=\sqrt{\tfrac{19}{2}}} =\frac{9}{2}\sqrt{\frac{2}{19}}=\frac{9}{\sqrt{38}}.
Terceira equação:
compute os termos já conhecidos:
\ell_{31}y_{1}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=-\frac{3}{2},
\ell_{32}y_{2}=\frac{5}{\sqrt{38}}\cdot\frac{9}{\sqrt{38}}=\frac{45}{38}.
Somando:
\ell_{31}y_{1}+\ell_{32}y_{2}=-\frac{3}{2}+\frac{45}{38}.
Colocando em denominador 38:
-\frac{3}{2}=-\frac{57}{38},\qquad -\frac{57}{38}+\frac{45}{38}=-\frac{12}{38}=-\frac{6}{19}.
A equação completa é
\ell_{33}y_{3}=-6-\big(\ell_{31}y_{1}+\ell_{32}y_{2}\big)=-6-\left(-\frac{6}{19}\right)=-6+\frac{6}{19}=-\frac{108}{19}.
Portanto
y_{3}=\frac{-\tfrac{108}{19}}{\ell_{33}}=\frac{-\tfrac{108}{19}}{\sqrt{\tfrac{54}{19}}} =-\frac{108}{19}\sqrt{\frac{19}{54}}.
Simplificando (fatorizando \sqrt{54}=3\sqrt{6} e usando \sqrt{19}):
y_{3}=-\frac{36\sqrt{19}}{19\sqrt{6}}=-\frac{6\sqrt{114}}{19}.
(qualquer forma equivalente em radicais é correta; acima está uma forma simplificada.)

Passo 12

Agora resolvemos L^{T}\mathbf{x}=\mathbf{y}. As equações são:
\ell_{11}x_{1}+\ell_{21}x_{2}+\ell_{31}x_{3}=y_{1},
\ell_{22}x_{2}+\ell_{32}x_{3}=y_{2},
\ell_{33}x_{3}=y_{3}.
Resolvendo de baixo para cima:
Da última equação:
x_{3}=\frac{y_{3}}{\ell_{33}}.
Substitua as formas exatas: y_{3}=-\dfrac{108}{19}\sqrt{\dfrac{19}{54}} e \ell_{33}=\sqrt{\dfrac{54}{19}}. Então
x_{3}=\frac{-\dfrac{108}{19}\sqrt{\dfrac{19}{54}}}{\sqrt{\dfrac{54}{19}}} =-\frac{108}{19}\cdot\frac{\sqrt{\tfrac{19}{54}}}{\sqrt{\tfrac{54}{19}}} =-\frac{108}{19}\cdot\frac{19}{54}=-2.
(Observação: aqui ocorre uma simplificação elegante porque \sqrt{\tfrac{19}{54}}/\sqrt{\tfrac{54}{19}}=\tfrac{19}{54}.)
Segunda equação:
\ell_{22}x_{2}=\;y_{2}-\ell_{32}x_{3}.
Usando y_{2}=\dfrac{9}{\sqrt{38}}, \ell_{32}=\dfrac{5}{\sqrt{38}} e x_{3}=-2,
y_{2}-\ell_{32}x_{3}=\frac{9}{\sqrt{38}}-\frac{5}{\sqrt{38}}(-2)=\frac{9}{\sqrt{38}}+\frac{10}{\sqrt{38}}=\frac{19}{\sqrt{38}}.
Logo
x_{2}=\frac{\tfrac{19}{\sqrt{38}}}{\sqrt{\tfrac{19}{2}}}.
Note que \dfrac{19}{\sqrt{38}}=\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}} e \sqrt{\tfrac{19}{2}}=\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}}, portanto x_{2}=1.
Primeira equação:
\ell_{11}x_{1}=y_{1}-\ell_{21}x_{2}-\ell_{31}x_{3}.
Substituindo y_{1}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}, \ell_{21}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=1, \ell_{31}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, x_{3}=-2:
y_{1}-\ell_{21}x_{2}-\ell_{31}x_{3}=\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-2)\right) =\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}=0.
Logo x_{1}=0.
Assim obtemos a solução exata
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Resposta

a=1,\\ b=2,\\ c=-1
x_{1}=0,\\ x_{2}=1,\\ x_{3}=-2

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