Prove que
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que $ n^{2} > 3n $ para todo número inteiro $ n $ maior ou igual a 4. Aqui, a matéria que estamos usando é a álgebra, especificamente inequações quadráticas. Para resolver, vamos manipular a inequação e mostrar que ela é verdadeira para $ n \geq 4 $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a inequação $ n^{2} > 3n $ de uma forma que facilite a análise. Subtraímos $ 3n $ de ambos os lados para trazer todos os termos para um lado:
Passo 3
Agora, queremos entender quando essa expressão $ n^{2} - 3n $ é maior que zero. Para isso, vamos fatorar a expressão. Podemos tirar um $ n $ em evidência:
Passo 4
A expressão fatorada $ n(n - 3) $ será maior que zero quando ambos os fatores forem positivos ou ambos forem negativos. Porém, como estamos considerando $ n \geq 4 $, ou seja, $ n $ é positivo, só precisamos analisar quando $ n - 3 $ também é positivo:
Passo 5
Como $ n \geq 4 $ já satisfaz a condição $ n > 3 $, podemos concluir que para qualquer $ n $ a partir de 4, a expressão $ n^{2} - 3n $ será positiva, ou seja, $ n^{2} > 3n $.
Resposta
Para todo $ n \geq 4 $, temos que $ n^{2} > 3n $.