Seja A uma matriz m times n.
(a) Se B é uma matriz m times m invertível, mostre que B A e A têm o mesmo núcleo e, portanto, o mesmo posto.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz de tamanho e uma matriz de tamanho inversível. Precisamos mostrar que e, a partir disso, concluir que . Vamos usar a definição de núcleo ( ) e o Teorema do Posto-Nulidade, que afirma para qualquer matriz de ordem :
onde .

Passo 2

Mostramos primeiro que ker(A)subsetker(BA). Se xinker(A), então
A,x=0
Multiplicando pela esquerda por B, vem
BA,x = B,(0) = 0,
logo xinker(BA). Portanto ker(A)subsetker(BA).

Passo 3

Agora mostramos ker(BA)subsetker(A). Seja xinker(BA). Então
BA,x=0
Como B é inversível, multiplicamos à esquerda por B^-1 e obtemos
A,x = B^-1(BA,x) = B^-1(0) = 0,
logo xinker(A). Assim ker(BA)subsetker(A).

Passo 4

Das inclusões dos passos anteriores segue
então
Pelo Teorema do Posto-Nulidade, como ambas as matrizes têm domínio de dimensão ,
Como , concluímos

Resposta

e, consequentemente, .

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