Seja A uma matriz
.
(a) Se
é uma matriz
invertível, mostre que
e A têm o mesmo núcleo e, portanto, o mesmo posto.
(a) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de tamanho
e uma matriz
de tamanho
inversível. Precisamos mostrar que
e, a partir disso, concluir que . Vamos usar a definição de núcleo (
) e o Teorema do Posto-Nulidade, que afirma para qualquer matriz
de ordem
:
onde .
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Se
, então
Multiplicando pela esquerda por
, vem
logo
. Portanto
.
Passo 3
Agora mostramos
. Seja
. Então
Como
é inversível, multiplicamos à esquerda por
e obtemos
logo
. Assim
.
Passo 4
Das inclusões dos passos anteriores segue
então
Pelo Teorema do Posto-Nulidade, como ambas as matrizes têm domínio de dimensão
,
Como , concluímos