4 Sejam
vetores unitários e ortogonais e sejam
. Prove que:
Passo 1
O enunciado afirma que em um espaço euclideano
temos vetores unitários e ortogonais
e
, isto é,
Queremos mostrar que, para escalares
,
O que vamos usar é a definição de ortogonalidade via produto interno e a bilinearidade do produto interno.
Passo 2
Sejam
Por definição,
se, e somente se,
Passo 3
Usando a bilinearidade e simetria do produto interno, expandimos
Passo 4
Como
e
são unitários e ortogonais, temos
Logo
Passo 5
Portanto