4 Sejam u, v in E vetores unitários e ortogonais e sejam a, b, c, d in R. Prove que:
a u+b v perp c u+d v Leftrightarrow a c+b d=0

Passo 1

O enunciado afirma que em um espaço euclideano E temos vetores unitários e ortogonais u e v, isto é,
lang<= u,urang<= = 1, lang<= v,vrang<= = 1, e lang<= u,vrang<= = 0
Queremos mostrar que, para escalares a,b,c,dinR,
a,u+b,v;perp;c,u+d,v Long<=ftrightarrow a,c + b,d = 0
O que vamos usar é a definição de ortogonalidade via produto interno e a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Sejam
x = a,u + b,v, y = c,u + d,v
Por definição, xperpy se, e somente se,
lang<= x,yrang<= = 0

Passo 3

Usando a bilinearidade e simetria do produto interno, expandimos
lang<= x,yrang<= = lang<=,a,u + b,v,,c,u + d,vrang<= = a,c,lang<= u,urang<= + a,d,lang<= u,vrang<= + b,c,lang<= v,urang<= + b,d,lang<= v,vrang<=

Passo 4

Como u e v são unitários e ortogonais, temos
lang<= u,urang<= = 1, lang<= v,vrang<= = 1, lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<= = 0
Logo
lang<= x,yrang<= = a,ccdot 1 + a,dcdot 0 + b,ccdot 0 + b,dcdot 1 = a,c + b,d

Passo 5

Portanto
xperpy Long<=ftrightarrow lang<= x,yrang<= = 0 Long<=ftrightarrow a,c + b,d = 0

Resposta

a,u+b,vperp c,u+d,v se, e somente se,
a,c + b,d = 0

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