7 Seja T: R^2 R^2 um operador linear tal que, forall u in R^2,lang<= T u, urang<==0. Mostre que: forall u, v in R^2,lang<= T u, vrang<==-lang<= T v, urang<=.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear e satisfaz
lang<= T u, urang<= = 0forall uinR^2
O que queremos mostrar é que T é orto-anti-simétrico, isto é,
lang<= T u, vrang<= = -,lang<= T v, urang<=forall u,vinR^2
Para isso vamos usar a linearidade de T e a bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Considere vetores arbitrários u,vinR^2. Pela hipótese em u+v temos
lang<= T(u+v),,u+vrang<= = 0
Como T é linear, T(u+v)=T u+T v; e pelo produto interno bilinear e simétrico,
lang<= T u+T v,,u+vrang<= =lang<= T u,urang<=+lang<= T u,vrang<=+lang<= T v,urang<=+lang<= T v,vrang<=

Passo 3

Pela hipótese, lang<= T u,urang<==0 e lang<= T v,vrang<==0. Logo
0 ;=;lang<= T u,urang<=+lang<= T u,vrang<=+lang<= T v,urang<=+lang<= T v,vrang<= = lang<= T u,vrang<= + lang<= T v,urang<=
Rearranjando, obtemos
lang<= T u,vrang<= = -,lang<= T v,urang<=,
o que era o desejado.

Resposta

Para todo u,vinR^2, lang<= T u,vrang<= = -lang<= T v,urang<=.

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