7 Seja
um operador linear tal que,
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado diz que
é linear e satisfaz
O que queremos mostrar é que
é orto-anti-simétrico, isto é,
Para isso vamos usar a linearidade de
e a bilinearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Considere vetores arbitrários
. Pela hipótese em
temos
Como
é linear,
; e pelo produto interno bilinear e simétrico,
Passo 3
Pela hipótese,
e
. Logo
Rearranjando, obtemos
o que era o desejado.
Resposta
Para todo
,
.