- Prove que um sistema linear
e compatível se e somente se o posto de (A/b) é igual ao posto de A.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar que o sistema linear
é compatível se, e somente se, o posto da matriz aumentada
é igual ao posto de
. O conteúdo principal aqui é o conceito de compatibilidade de um sistema linear, espaço coluna (imagem de uma matriz) e definição de posto como dimensão desse espaço.
Passo 2
Um sistema
é compatível exatamente quando existe algum vetor
tal que
Isso significa que
pode ser escrito como combinação linear das colunas de
, ou seja,
onde
é o espaço gerado pelas colunas de
.
Passo 3
Por definição, o posto de
é a dimensão de
:
A matriz aumentada
tem como espaço coluna
portanto
Passo 4
Se
, então adicionar
às colunas de
não aumenta a dimensão do espaço coluna, de modo que
Caso
, a coluna
cria uma direção nova e
Como a compatibilidade exige exatamente
, concluímos que
Resposta
O sistema
é compatível se, e somente se,