1. Prove que um sistema linear Ax=b e compatível se e somente se o posto de (A/b) é igual ao posto de A.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que o sistema linear A x = b é compatível se, e somente se, o posto da matriz aumentada (Amid b) é igual ao posto de A. O conteúdo principal aqui é o conceito de compatibilidade de um sistema linear, espaço coluna (imagem de uma matriz) e definição de posto como dimensão desse espaço.

Passo 2

Um sistema A x = b é compatível exatamente quando existe algum vetor ,x0inR^n tal que
A,x0 = b
Isso significa que b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A, ou seja,
b in Im(A),
onde Im(A) é o espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 3

Por definição, o posto de é a dimensão de :
A matriz aumentada tem como espaço coluna
portanto

Passo 4

Se binIm(A), então adicionar b às colunas de A não aumenta a dimensão do espaço coluna, de modo que
rank(Amid b) =rank(A)
Caso bnotinIm(A), a coluna b cria uma direção nova e
rank(Amid b) =rank(A)+1
Como a compatibilidade exige exatamente binIm(A), concluímos que
A x = b é compatível Long<=ftrightarrow rank(Amid b)=rank(A) éí

Resposta

O sistema A x = b é compatível se, e somente se,
rank(Amid b)=rank(A)

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