Seja A uma matriz n \times n. Quanto é \operatorname{det}(-A) ?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante de -A, sendo A uma matriz n\times n. Informações dadas: A é quadrada de ordem n. A pergunta é: quanto vale \det(-A) em função de \det(A) e n?
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental do determinante: ele é linear em cada coluna (ou, alternativamente, em cada linha) quando as demais colunas são mantidas fixas. Isto significa o seguinte: se uma matriz B é igual a A exceto que a primeira coluna de A foi multiplicada por um escalar c, então
\det(B)=c\det(A).
Aqui cada coluna é tratada separadamente; se você multiplicar apenas uma coluna por c, o determinante é multiplicado por c. Vou explicar por que isso é verdade de forma simples: a linearidade diz que a função que associa à primeira coluna o valor do determinante é uma aplicação linear (soma e multiplicação por escalar se comportam bem), então fator escalar sai da coluna e aparece multiplicando o determinante.
Passo 3
Aplicando a ideia do Passo 2 sucessivamente às n colunas: se multiplicamos todas as n colunas de A por um mesmo escalar c, cada coluna introduce um fator c no determinante. Portanto, multiplicando todas as colunas por c obtemos um fator c vezes por coluna, totalizando c^n. Em fórmula:
\det(cA)=c^n\det(A).
Este é um resultado padrão e fácil de lembrar: ao escalar toda a matriz por c, o determinante escala por c^n, porque o determinante tem grau n nas colunas (ou linhas).
Passo 4
Agora escolha c=-1. Substituindo em \det(cA)=c^n\det(A) obtemos
\det(-A)=(-1)^n\det(A).
Isto já responde a pergunta: o efeito de multiplicar toda a matriz por -1 é introduzir o fator (-1)^n no determinante.
Passo 5
Interpretação prática: se n é ímpar (n=1,3,5,\dots), então (-1)^n=-1 e \det(-A)=-\det(A) (o determinante troca de sinal). Se n é par (n=2,4,6,\dots), então (-1)^n=1 e \det(-A)=\det(A) (o determinante permanece igual).
Passo 6
Para fixar a intuição, veja exemplos rápidos:
n=1: A=[a]. Então \det(A)=a e \det(-A)=-a=(-1)^1 a.
n=2: A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}. \det(A)=ad-bc. -A=\begin{pmatrix}-a&-b\\\\ -c&-d\end{pmatrix} tem determinante (-a)(-d)-(-b)(-c)=ad-bc=\det(A), que é (-1)^2\det(A).
n=3: o mesmo raciocínio dá \det(-A)=-\det(A), porque (-1)^3=-1.
Passo 7
Uma demonstração alternativa (rápida) que às vezes é mais direta: escreva -A=(-I)A, onde I é a matriz identidade. Como \det(AB)=\det(A)\det(B), temos
\det(-A)=\det(-I)\det(A).
Mas -I é uma matriz diagonal com entradas -1 na diagonal, então \det(-I)=(-1)^n. Isso leva à mesma conclusão \det(-A)=(-1)^n\det(A).
Passo 8
Resumo prático para a prova: sempre que ver -A com A de ordem n, já pode anotar de cabeça
\det(-A)=(-1)^n\det(A).
Se quiser, memorize: sinal trocado se n ímpar; sinal preservado se n par.