Calcule usando expansão total:
\left|\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pi & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -11 \\\ e & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt[3]{3} & 0 & 0\end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pi & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & -11 \\\ e & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 5 & 0 & \sqrt[3]{3} & 0 & 0\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três determinantes 7\times7. Vou listar cuidadosamente o que cada matriz fornece (só os elementos não nulos, pois a maioria é zero):
Matriz 1: os únicos elementos não nulos são
a_{1,5}=1,\; a_{2,2}=1,\; a_{3,1}=1,\; a_{4,7}=1,\; a_{5,6}=1,\; a_{6,3}=1,\; a_{7,4}=1.
Matriz 2: os únicos elementos não nulos são
b_{1,6}=\pi,\; b_{2,3}=2,\; b_{3,4}=\sqrt{2},\; b_{4,2}=7,\; b_{5,7}=-11,\; b_{6,1}=e,\; b_{7,5}=\sqrt[3]{3}.
Matriz 3: os elementos não nulos (mais de um por linha em algumas linhas) são
\begin{aligned} c_{1,6}&=\pi,\\\ c_{2,3}&=2,\\\ c_{3,3}&=1,\; c_{3,4}=\sqrt{2},\\\ c_{4,2}&=7,\; c_{4,3}=2,\\\ c_{5,3}=3,\; c_{5,7}=-11,\\\ c_{6,1}=e,\; c_{6,3}=4,\\\ c_{7,3}=5,\; c_{7,5}=\sqrt[3]{3}. \end{aligned}
O objetivo é calcular os três determinantes explicitamente. A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Vou relembrar a ferramenta central que vou usar: a expansão de Laplace (expansão total) ao longo de uma linha ou coluna. A fórmula de expansão ao longo da linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}\det(M_{i,j}),
onde M_{i,j} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Analogamente se expandirmos por uma coluna j. Essa fórmula nos permite, quando uma linha ou coluna tem poucos elementos não nulos, reduzir o cálculo a determinantes menores.
Um caso muito útil: se a matriz tem exatamente um elemento não nulo em cada linha e cada coluna (isto é, é uma matriz permutação multiplicada por escalas), então há exatamente uma permutação de colunas que produz um termo não nulo na expansão completa, e
\det(A)=\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)},
onde \sigma é a permutação que associa a cada linha i a coluna \sigma(i) onde está o elemento não nulo, e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação ( +1 ou -1). Para calcular \operatorname{sgn}(\sigma) é prático decompor \sigma em ciclos e usar que um ciclo de comprimento k tem sinal (-1)^{k-1}; o sinal total é o produto dos sinais dos ciclos.

Passo 3

Cálculo do primeiro determinante. Observando a matriz 1, cada linha tem exatamente um elemento 1 e cada coluna tem exatamente um desses 1. Logo é um caso de permutação pura. A permutação \sigma (dada por \sigma(i) = coluna com o 1 na linha i) é
\sigma(1)=5,\; \sigma(2)=2,\; \sigma(3)=1,\; \sigma(4)=7,\; \sigma(5)=6,\; \sigma(6)=3,\; \sigma(7)=4.
Escrevendo em notação de uma linha: \sigma = (5,2,1,7,6,3,4).
Decompomos \sigma em ciclos:
(1\;5\;6\;3)(2)(4\;7).
Os comprimentos são 4,1,2. O sinal de cada ciclo é (-1)^{k-1}, então os sinais são
(-1)^{4-1}=-1,\quad (-1)^{1-1}=+1,\quad (-1)^{2-1}=-1.
O sinal da permutação é o produto:
\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)\cdot(+1)\cdot(-1)=+1.
Como todos os elementos escolhidos valem 1, o produto dos elementos é 1. Portanto
\det(\text{Matriz 1})=+1.

Passo 4

Cálculo do segundo determinante. A matriz 2 também tem exatamente um elemento não nulo por linha e por coluna. A permutação \tau é
\tau(1)=6,\; \tau(2)=3,\; \tau(3)=4,\; \tau(4)=2,\; \tau(5)=7,\; \tau(6)=1,\; \tau(7)=5.
Em ciclos:
(1\;6)(2\;3\;4)(5\;7).
Os comprimentos são 2,3,2. Os sinais dos ciclos são
(-1)^{2-1}=-1,\quad (-1)^{3-1}=+1,\quad (-1)^{2-1}=-1.
Logo
\operatorname{sgn}(\tau)=(-1)\cdot(+1)\cdot(-1)=+1.
O produto dos elementos correspondentes é
\pi\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot 7\cdot (-11)\cdot e\cdot \sqrt[3]{3}.
Multiplico os fatores numéricos separados do sinal: 2\cdot 7\cdot 11=154 e há um - por causa de -11. Portanto o produto é
-154\,e\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt[3]{3}.
Com \operatorname{sgn}(\tau)=+1 temos
\det(\text{Matriz 2})=-154\,e\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt[3]{3}.

Passo 5

Cálculo do terceiro determinante. Observação chave: nas colunas da matriz 3, as colunas 1,2,4,5,6,7 têm cada uma exatamente um elemento não nulo, e a coluna 3 contém vários elementos não nulos. Mais precisamente:
coluna 1 tem o único não nulo em linha 6, coluna 2 em linha 4, coluna 4 em linha 3, coluna 5 em linha 7, coluna 6 em linha 1, coluna 7 em linha 5. Isso deixa apenas a linha 2 para a coluna 3 (porque a linha 2 tem apenas o não nulo em coluna 3).
Usando expansão de Laplace: se eu expandir por todas essas colunas que têm só um não nulo, cada expansão força a seleção daquele elemento único; ao eliminar sucessivamente as linhas e colunas correspondentes, sobra um menor 1\times1 que é exatamente o elemento c_{2,3}=2. Em termos de permutação, o único conjunto de escolhas de uma entrada por linha e coluna que leva a produto não nulo é a escolha
\begin{aligned} \text{linha }1&\to\text{col }6,\quad \text{linha }2\to\text{col }3,\quad \text{linha }3\to\text{col }4,\\\ \text{linha }4&\to\text{col }2,\quad \text{linha }5\to\text{col }7,\quad \text{linha }6\to\text{col }1,\quad \text{linha }7\to\text{col }5. \end{aligned}
Essa permutação é exatamente a mesma que apareceu na Matriz 2 (veja o passo anterior). Portanto o sinal da permutação é o mesmo ( +1) e o produto dos elementos escolhidos também é o mesmo que o da Matriz 2. Os outros elementos em coluna 3 não criam termos adicionais válidos porque a linha 2 só tem opção de usar a coluna 3; se outra linha tomasse a coluna 3, a linha 2 ficaria sem nenhum elemento não nulo (termo nulo na expansão). Assim há um único termo não nulo na expansão total e ele coincide com o termo já calculado no Passo 4.
Portanto
\det(\text{Matriz 3})=\det(\text{Matriz 2})=-154\,e\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt[3]{3}.

Resposta

1
-154\,e\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt[3]{3}
-154\,e\,\pi\,\sqrt{2}\,\sqrt[3]{3}

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