O enunciado pede para calcular três determinantes 7\times7. Vou listar cuidadosamente o que cada matriz fornece (só os elementos não nulos, pois a maioria é zero):
O objetivo é calcular os três determinantes explicitamente. A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Vou relembrar a ferramenta central que vou usar: a expansão de Laplace (expansão total) ao longo de uma linha ou coluna. A fórmula de expansão ao longo da linha i é
onde M_{i,j} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Analogamente se expandirmos por uma coluna j. Essa fórmula nos permite, quando uma linha ou coluna tem poucos elementos não nulos, reduzir o cálculo a determinantes menores.
Um caso muito útil: se a matriz tem exatamente um elemento não nulo em cada linha e cada coluna (isto é, é uma matriz permutação multiplicada por escalas), então há exatamente uma permutação de colunas que produz um termo não nulo na expansão completa, e
onde \sigma é a permutação que associa a cada linha i a coluna \sigma(i) onde está o elemento não nulo, e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação (+1 ou -1). Para calcular \operatorname{sgn}(\sigma) é prático decompor \sigma em ciclos e usar que um ciclo de comprimento k tem sinal (-1)^{k-1}; o sinal total é o produto dos sinais dos ciclos.
Passo 3
Cálculo do primeiro determinante. Observando a matriz 1, cada linha tem exatamente um elemento 1 e cada coluna tem exatamente um desses 1. Logo é um caso de permutação pura. A permutação \sigma (dada por \sigma(i) = coluna com o 1 na linha i) é
Cálculo do terceiro determinante. Observação chave: nas colunas da matriz 3, as colunas 1,2,4,5,6,7 têm cada uma exatamente um elemento não nulo, e a coluna 3 contém vários elementos não nulos. Mais precisamente:
coluna 1 tem o único não nulo em linha 6, coluna 2 em linha 4, coluna 4 em linha 3, coluna 5 em linha 7, coluna 6 em linha 1, coluna 7 em linha 5. Isso deixa apenas a linha 2 para a coluna 3 (porque a linha 2 tem apenas o não nulo em coluna 3).
Usando expansão de Laplace: se eu expandir por todas essas colunas que têm só um não nulo, cada expansão força a seleção daquele elemento único; ao eliminar sucessivamente as linhas e colunas correspondentes, sobra um menor 1\times1 que é exatamente o elemento c_{2,3}=2. Em termos de permutação, o único conjunto de escolhas de uma entrada por linha e coluna que leva a produto não nulo é a escolha
Essa permutação é exatamente a mesma que apareceu na Matriz 2 (veja o passo anterior). Portanto o sinal da permutação é o mesmo (+1) e o produto dos elementos escolhidos também é o mesmo que o da Matriz 2. Os outros elementos em coluna 3 não criam termos adicionais válidos porque a linha 2 só tem opção de usar a coluna 3; se outra linha tomasse a coluna 3, a linha 2 ficaria sem nenhum elemento não nulo (termo nulo na expansão). Assim há um único termo não nulo na expansão total e ele coincide com o termo já calculado no Passo 4.