Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v}) do vetor \vec{u}=(2,-5,3) em torno:
do plano x O z

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:\n
  • Temos uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{3} que é uma reflexão no espaço.\n
  • O vetor que vamos refletir é \vec{u}=(2,-5,3).\n
  • A reflexão é feita em torno do plano xOz (ou seja, o plano formado pelos eixos x e z).\n
    O que o problema pede: encontrar o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{u}), ou seja, a imagem de \vec{u} pela reflexão no plano xOz.

Passo 2

Vamos entender o que significa refletir um vetor em torno de um plano, de forma didática e passo a passo.\n
Quando refletimos um vetor em relação a um plano, é útil decompor o vetor em duas partes:\n
  • a componente paralela ao plano, que chamaremos de \vec{v}_{\parallel}, isto é, a parte do vetor que fica dentro do plano;\n
  • a componente perpendicular ao plano, que chamaremos de \vec{v}_{\perp}, isto é, a parte do vetor que aponta na direção normal ao plano.\n
    A reflexão inverte a componente perpendicular e mantém a componente paralela inalterada. Em fórmulas, se \vec{v}=\vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_{\perp} então\n
T(\vec{v})=\vec{v}_{\parallel}-\vec{v}_{\perp}.
Outra forma útil (equivalente) é expressar \vec{v}_{\perp} usando um vetor normal unitário \vec{n} ao plano: \vec{v}_{\perp}=(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}. Assim
T(\vec{v})=\vec{v}-2(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{n}, e \vec{n} deve ser unitário (comprimento 1). Vou usar essas fórmulas para calcular explicitamente.

Passo 3

Identificar a normal ao plano xOz.\n
O plano xOz é o conjunto de pontos com coordenada y=0. Um vetor normal a esse plano aponta ao longo do eixo y. Podemos escolher
\vec{n}=(0,1,0).
Esse \vec{n} já é unitário, pois \|\vec{n}\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}=1. Portanto podemos usar diretamente a fórmula da reflexão com esse \vec{n}.

Passo 4

Calcular a componente perpendicular \vec{u}_{\perp} usando o produto escalar.\n
Primeiro o produto escalar entre \vec{u} e \vec{n}:
\vec{u}\cdot\vec{n}=(2,-5,3)\cdot(0,1,0)=2\cdot0 + (-5)\cdot1 + 3\cdot0 = -5.
Agora a componente perpendicular é
\vec{u}_{\perp}=(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}=(-5)(0,1,0)=(0,-5,0).
A componente paralela ao plano é o que resta:
\vec{u}_{\parallel}=\vec{u}-\vec{u}_{\perp}=(2,-5,3)-(0,-5,0)=(2,0,3).
Interpretação: \vec{u}_{\parallel} está no plano xOz (segunda coordenada zero) e \vec{u}_{\perp} aponta para fora/do plano ao longo do eixo y.

Passo 5

Aplicar a regra da reflexão: inverter a componente perpendicular e manter a paralela.\n
Usando a forma \vec{w}=T(\vec{u})=\vec{u}_{\parallel}-\vec{u}_{\perp}, temos
\vec{w}=(2,0,3)-(0,-5,0)=(2,5,3).
Ou, usando a forma alternativa \vec{w}=\vec{u}-2(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}, calculamos -2(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}=-2(-5)(0,1,0)=(0,10,0) e
\vec{w}=(2,-5,3)+(0,10,0)=(2,5,3),
obtendo o mesmo resultado. Em palavras simples: refletir no plano y=0 troca o sinal da coordenada y e deixa x e z iguais.

Passo 6

Resumo final e encorajamento breve.\n
O procedimento geral que usamos é sempre útil: identifique a normal do plano, decompose o vetor em paralelo e perpendicular, e então inverta a perpendicular. Isso funciona para qualquer plano. Você já conseguiu — é só trocar o sinal da coordenada correspondente à direção normal do plano.

Resposta

\vec{w}=(2,5,3)

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