Seja
uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor
tal que
do vetor
em torno:
do plano
do plano
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:\n
- Temos uma transformação linear
que é uma reflexão no espaço.\n - O vetor que vamos refletir é
.\n - A reflexão é feita em torno do plano
(ou seja, o plano formado pelos eixos e ).\n
O que o problema pede: encontrar o vetortal que , ou seja, a imagem de pela reflexão no plano .
Passo 2
Vamos entender o que significa refletir um vetor em torno de um plano, de forma didática e passo a passo.\n
Quando refletimos um vetor em relação a um plano, é útil decompor o vetor em duas partes:\n
Quando refletimos um vetor em relação a um plano, é útil decompor o vetor em duas partes:\n
- a componente paralela ao plano, que chamaremos de
, isto é, a parte do vetor que fica dentro do plano;\n - a componente perpendicular ao plano, que chamaremos de
, isto é, a parte do vetor que aponta na direção normal ao plano.\n
A reflexão inverte a componente perpendicular e mantém a componente paralela inalterada. Em fórmulas, seentão\n
Outra forma útil (equivalente) é expressar
usando um vetor normal unitário
ao plano:
. Assim
Aqui
é o produto escalar entre
e
, e
deve ser unitário (comprimento
). Vou usar essas fórmulas para calcular explicitamente.
Passo 3
Identificar a normal ao plano
.\n
O plano é o conjunto de pontos com coordenada
. Um vetor normal a esse plano aponta ao longo do eixo
. Podemos escolher
O plano
Esse
já é unitário, pois
. Portanto podemos usar diretamente a fórmula da reflexão com esse
.
Passo 4
Calcular a componente perpendicular
usando o produto escalar.\n
Primeiro o produto escalar entre e
:
Primeiro o produto escalar entre
Agora a componente perpendicular é
A componente paralela ao plano é o que resta:
Interpretação:
está no plano
(segunda coordenada zero) e
aponta para fora/do plano ao longo do eixo
.
Passo 5
Aplicar a regra da reflexão: inverter a componente perpendicular e manter a paralela.\n
Usando a forma , temos
Usando a forma
Ou, usando a forma alternativa
, calculamos
e
obtendo o mesmo resultado. Em palavras simples: refletir no plano
troca o sinal da coordenada
e deixa
e
iguais.
Passo 6
Resumo final e encorajamento breve.\n
O procedimento geral que usamos é sempre útil: identifique a normal do plano, decompose o vetor em paralelo e perpendicular, e então inverta a perpendicular. Isso funciona para qualquer plano. Você já conseguiu — é só trocar o sinal da coordenada correspondente à direção normal do plano.
O procedimento geral que usamos é sempre útil: identifique a normal do plano, decompose o vetor em paralelo e perpendicular, e então inverta a perpendicular. Isso funciona para qualquer plano. Você já conseguiu — é só trocar o sinal da coordenada correspondente à direção normal do plano.