Seja
uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor
tal que
do vetor
em torno:
do plano
do plano
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a imagem
do vetor
pela reflexão
em torno do plano
.
Informações dadas relevantes: e o plano é o plano
(o plano que contém os eixos
e
).
Informações dadas relevantes:
Passo 2
Entender o que significa "reflexão em torno do plano
". O plano
é justamente o conjunto dos pontos cuja coordenada
é zero, ou seja, é o plano com equação
. Isso significa que o vetor normal a esse plano é um vetor que aponta na direção do eixo
; um escolhido conveniente é
. Aqui estou indicando explicitamente que peguei essa informação do enunciado (o plano
implica
e normal
).
Passo 3
Explicar a ideia da reflexão (aula rápida e prática). Qualquer vetor
pode ser decomposto em duas partes: uma componente paralela ao plano e outra componente perpendicular ao plano. Se
é um vetor unitário normal ao plano, então:
onde
é a projeção de
sobre a normal e
fica no plano. A reflexão em relação ao plano deixa a componente paralela
inalterada e inverte a componente perpendicular
(troca-a pelo seu negativo). Portanto a fórmula prática da reflexão é
onde explico:
é o vetor que queremos refletir,
é um vetor normal unitário ao plano, e
é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes).
Passo 4
Verificar se
é unitário. O comprimento de
é
portanto
já é unitário e podemos usar a fórmula direta do passo anterior sem normalizar.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Com
e
,
Expliquei: o produto escalar multiplica coordenada a coordenada e soma os resultados.
Passo 6
Aplicar a fórmula da reflexão:
Substituindo
e
,
Calcule passo a passo:
. Então
Passo 7
Verificação intuitiva (chega fácil na prova sem fórmula): refletir em relação ao plano
é simplesmente trocar o sinal da coordenada
e deixar
e
iguais. Isso dá diretamente
. Posso ainda checar uma propriedade geométrica: o ponto médio entre
e
é
que tem
, portanto está no plano
; e o segmento que liga
a
é paralelo a
. Isso confirma que a reflexão está correta.
Passo 8
Resumo amigável: se te pedirem refletir um vetor em torno do plano
, basta inverter o sinal da primeira coordenada (a coordenada
) e deixar as outras duas iguais. Vai dar certo rapidinho na prova — respira, você consegue!