Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma reflexão no espaço. Encontre a imagem, isto é, o vetor \vec{w} tal que \vec{w}=T(\vec{v}) do vetor \vec{u}=(2,-5,3) em torno:
do plano y O z

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a imagem \vec{w} do vetor \vec{u} = (2,-5,3) pela reflexão T em torno do plano yOz.
Informações dadas relevantes: \vec{u} = (2,-5,3) e o plano é o plano yOz (o plano que contém os eixos y e z).

Passo 2

Entender o que significa "reflexão em torno do plano yOz". O plano yOz é justamente o conjunto dos pontos cuja coordenada x é zero, ou seja, é o plano com equação x=0. Isso significa que o vetor normal a esse plano é um vetor que aponta na direção do eixo x; um escolhido conveniente é \vec{n} = (1,0,0). Aqui estou indicando explicitamente que peguei essa informação do enunciado (o plano yOz implica x=0 e normal (1,0,0)).

Passo 3

Explicar a ideia da reflexão (aula rápida e prática). Qualquer vetor \vec{v} pode ser decomposto em duas partes: uma componente paralela ao plano e outra componente perpendicular ao plano. Se \vec{n} é um vetor unitário normal ao plano, então:
\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp},
onde \vec{v}_{\perp} = (\vec{v}\cdot\vec{n})\,\vec{n} é a projeção de \vec{v} sobre a normal e \vec{v}_{\parallel} = \vec{v} - \vec{v}_{\perp} fica no plano. A reflexão em relação ao plano deixa a componente paralela \vec{v}_{\parallel} inalterada e inverte a componente perpendicular \vec{v}_{\perp} (troca-a pelo seu negativo). Portanto a fórmula prática da reflexão é
\boxed{\;T(\vec{v}) = \vec{v} - 2(\vec{v}\cdot\vec{n})\,\vec{n}\;},
onde explico: \vec{v} é o vetor que queremos refletir, \vec{n} é um vetor normal unitário ao plano, e \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes).

Passo 4

Verificar se \vec{n} = (1,0,0) é unitário. O comprimento de \vec{n} é
\|\vec{n}\| = \sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}} = 1,
portanto \vec{n} já é unitário e podemos usar a fórmula direta do passo anterior sem normalizar.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{n}. Com \vec{u}=(2,-5,3) e \vec{n}=(1,0,0),
\vec{u}\cdot\vec{n} = 2\cdot 1 + (-5)\cdot 0 + 3\cdot 0 = 2.
Expliquei: o produto escalar multiplica coordenada a coordenada e soma os resultados.

Passo 6

Aplicar a fórmula da reflexão:
T(\vec{u}) = \vec{u} - 2(\vec{u}\cdot\vec{n})\,\vec{n}.
Substituindo \vec{u}\cdot\vec{n}=2 e \vec{n}=(1,0,0),
T(\vec{u}) = (2,-5,3) - 2\cdot 2\cdot (1,0,0).
Calcule passo a passo: 2\cdot 2\cdot (1,0,0) = 4\cdot(1,0,0) = (4,0,0). Então
T(\vec{u}) = (2,-5,3) - (4,0,0) = (2-4,\;-5-0,\;3-0) = (-2,-5,3).

Passo 7

Verificação intuitiva (chega fácil na prova sem fórmula): refletir em relação ao plano x=0 é simplesmente trocar o sinal da coordenada x e deixar y e z iguais. Isso dá diretamente (-2,-5,3). Posso ainda checar uma propriedade geométrica: o ponto médio entre \vec{u} e T(\vec{u}) é
\frac{\vec{u}+T(\vec{u})}{2} = \frac{(2,-5,3)+(-2,-5,3)}{2} = (0,-5,3),
que tem x=0, portanto está no plano yOz; e o segmento que liga \vec{u} a T(\vec{u}) é paralelo a \vec{n}. Isso confirma que a reflexão está correta.

Passo 8

Resumo amigável: se te pedirem refletir um vetor em torno do plano yOz, basta inverter o sinal da primeira coordenada (a coordenada x) e deixar as outras duas iguais. Vai dar certo rapidinho na prova — respira, você consegue!

Resposta

\vec{w}=(-2,-5,3)

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