Seja A uma matriz de ordem n>1.
Defina a matriz inversa de A.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A de ordem n>1 e pede uma definição: "Defina a matriz inversa de A".
Informações relevantes que temos:
A é uma matriz quadrada de ordem n (ou seja, A é n\times n).
Precisamos fornecer a definição precisa do que é “matriz inversa” de A.
Nada mais foi pedido (não foi pedido cálculo nem exemplos específicos), apenas a definição e explicação associada.
Passo 2
Primeiro lembrar o que é a matriz identidade: a matriz identidade de ordem n é a matriz \,I_n tal que, para qualquer matriz X de ordem n,
I_n X = X I_n = X.
A matriz identidade tem entradas (I_n)_{ii}=1 e (I_n)_{ij}=0 para i\neq j. Esse é o papel do “1” na multiplicação de matrizes: é o elemento neutro.
Passo 3
Agora a definição formal (aquela que vai direto na prova): uma matriz B de ordem n é chamada de inversa de A se, quando multiplicada por A dos dois lados, produz a identidade. Ou seja, B é inversa de A quando
AB = BA = I_n.
Se existir tal matriz B, escrevemos B = A^{-1} e dizemos que A é invertível (ou não singular). Se não existir, dizemos que A é não invertível (ou singular).
Passo 4
Por que exigimos as duas igualdades AB=I_n e BA=I_n? Porque a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral: AB pode ser igual a I_n enquanto BA não é, portanto a definição pede ambas as igualdades para garantir que B funcione como verdadeiro inverso à esquerda e à direita. Na prática, para matrizes quadradas, obter uma das igualdades já garante a outra (ver prova de unicidade e consequência abaixo).
Passo 5
Propriedade importante — unicidade da inversa. Se B e C forem inversas de A, então B=C. Prova curta, passo a passo:
B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.
Aqui usamos associatividade da multiplicação matricial e as hipóteses AC=I_n e BA=I_n. Conclusão: se existir, o inverso é único, portanto faz sentido falar em A^{-1}.
Passo 6
Condição necessária via determinante. Se A tem inversa então \det(A)\neq 0. Prova:
\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(I_n)=1,
logo \det(A)\det(B)=1 e \det(A)\neq 0. Portanto matrizes com \det(A)=0 não têm inversa.
Passo 7
Condição suficiente e fórmula prática (adjunta/adjugata). Se \det(A)\neq 0 então existe inversa e ela pode ser escrita por
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) (a adjugata) é a transposta da matriz de cofatores de A. Definições para entender isso:
O menor de ordem n-1 obtido removendo a linha i e coluna j de A tem determinante chamado menor M_{ij}.
O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A matriz de cofatores tem entradas C_{ij}; a adjugata é \operatorname{adj}(A)=\big(C_{ji}\big)_{i,j} (ou seja, a transposta da matriz de cofatores).
O resultado chave usado é
cuja demonstração segue da expansão de Laplace para determinantes (expansão por linha ou coluna): para i=j a soma dá \det(A) e para i\neq j a soma dá 0. Dividindo ambos os lados por \det(A) obtém-se a inversa.
Passo 8
Métodos práticos para calcular A^{-1} na prova:
Para n=2, usar fórmula direta: se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} e \det(A)=ad-bc\neq0, então
Para n pequeno (tipo 3), pode usar a fórmula da adjugata com cofatores.
Para matrizes maiores ou quando for mais eficiente, usar eliminação de Gauss: montar [A\mid I_n] e aplicar operações elementares nas linhas até reduzir a [I_n\mid A^{-1}]. Se durante o processo não for possível obter I_n na parte esquerda, então A não é invertível (\det(A)=0).
Passo 9
Propriedades úteis para usar na prova (sem demonstrações longas, mas fáceis de provar usando definição):
(A^{-1})^{-1}=A quando A é invertível.
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} para matrizes invertíveis A,B de ordem compatível.
(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.
Essas propriedades são muito usadas em manipulações e provas.
Passo 10
Resumo didático e dica de prova: para responder na prova, escreva a definição clara (AB=BA=I_n), comente sobre unicidade e condição via determinante (\det(A)\neq0), e, se pedirem como calcular, indique a fórmula da adjugata para matrizes teóricas ou eliminação de Gauss para cálculo prático. Vai dar certo — começa checando \det(A) e procede conforme o tamanho da matriz.
Resposta
A inversa de A é a matriz A^{-1} (quando existe) tal que