Dada as matrizes
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
,
,
e
e pede para mostrar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
tem tamanho . -
tem tamanho . -
tem tamanho . -
foi dada mas não é necessária para esta demonstração (só está listada). - A soma
e os produtos , e são operações bem definidas pelas dimensões acima.
Passo 2
Verificação das dimensões (isto garante que as operações estão definidas):
- Como
e são ambas , a soma é definida e tem dimensão . - Multiplicando
por obtém-se de dimensão . - Também
e são produtos de uma por uma , logo ambos são .
Conclusão: os dois lados desão matrizes , então faz sentido compará-las elemento a elemento.
Passo 3
Relembrando as definições elementares (muito importante para a prova):
- Soma de matrizes: se
e têm mesma dimensão , então a entrada é
para
e
.
- Produto de matrizes: se
é e é , então a entrada é dada por
onde
e
.
Explicando os símbolos: é o elemento da linha
e coluna
de
;
é o elemento da linha
e coluna
de
. A soma percorre
de
até
porque as colunas de
e linhas de
têm tamanho
.
Explicando os símbolos:
Passo 4
Calcule a entrada genérica de
usando as definições:
Aqui usamos que
é
, então sua entrada
está bem definida.
Passo 5
Use a definição de soma de matrizes e a distributividade dos números reais (multiplicação sobre soma) dentro da soma:
logo
Agora aplicamos a distributividade escalar termo a termo:
Passo 6
Reconhecendo as somas como entradas dos produtos
e
:
Portanto
Como essa igualdade vale para todo
e todo
, concluímos que todas as entradas de
coincidem com as de
. Como as duas matrizes têm a mesma dimensão
, isso implica
Passo 7
Exemplo numérico concreto (para ver de forma palpável):
Seja
Seja
Calcule
:
Agora
:
Por outro lado,
Somando:
que coincide com
, ilustrando a igualdade.]