Dada as matrizes A_{m \times n}, B_{n \times p}, C_{p \times s} e D_{n \times p}. Mostre que
A(B+D)=A B+A D

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A_{m\times n}, B_{n\times p}, C_{p\times s} e D_{n\times p} e pede para mostrar a igualdade
A(B+D)=AB+AD.
Informações relevantes fornecidas:
  • A tem tamanho m\times n.
  • B tem tamanho n\times p.
  • D tem tamanho n\times p.
  • C foi dada mas não é necessária para esta demonstração (só está listada).
  • A soma B+D e os produtos AB, AD e A(B+D) são operações bem definidas pelas dimensões acima.

Passo 2

Verificação das dimensões (isto garante que as operações estão definidas):
  • Como B e D são ambas n\times p, a soma B+D é definida e tem dimensão n\times p.
  • Multiplicando A_{m\times n} por (B+D)_{n\times p} obtém-se A(B+D) de dimensão m\times p.
  • Também AB e AD são produtos de uma m\times n por uma n\times p, logo ambos são m\times p.
    Conclusão: os dois lados de \;A(B+D)=AB+AD\; são matrizes m\times p, então faz sentido compará-las elemento a elemento.

Passo 3

Relembrando as definições elementares (muito importante para a prova):
  • Soma de matrizes: se X e Y têm mesma dimensão r\times s, então a entrada (X+Y)_{ij} é
(X+Y)_{ij}=X_{ij}+Y_{ij},
para i=1,\dots,r e j=1,\dots,s.
  • Produto de matrizes: se A é m\times n e B é n\times p, então a entrada (AB)_{ij} é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj},
onde i=1,\dots,m e j=1,\dots,p.
Explicando os símbolos: A_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A; B_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. A soma percorre k de 1 até n porque as colunas de A e linhas de B têm tamanho n.

Passo 4

Calcule a entrada genérica de A(B+D) usando as definições:
(A(B+D))_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,(B+D)_{kj}.
Aqui usamos que B+D é n\times p, então sua entrada (B+D)_{kj} está bem definida.

Passo 5

Use a definição de soma de matrizes e a distributividade dos números reais (multiplicação sobre soma) dentro da soma:
(B+D)_{kj}=B_{kj}+D_{kj},
logo
(A(B+D))_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,(B_{kj}+D_{kj}).
Agora aplicamos a distributividade escalar termo a termo:
(A(B+D))_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\bigl(A_{ik}B_{kj}\bigr)+\sum_{k=1}^{n}\bigl(A_{ik}D_{kj}\bigr).

Passo 6

Reconhecendo as somas como entradas dos produtos AB e AD:
\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}=(AB)_{ij}, \qquad \sum_{k=1}^{n} A_{ik}D_{kj}=(AD)_{ij}.
Portanto
(A(B+D))_{ij}=(AB)_{ij}+(AD)_{ij}=(AB+AD)_{ij}.
Como essa igualdade vale para todo i=1,\dots,m e todo j=1,\dots,p, concluímos que todas as entradas de A(B+D) coincidem com as de AB+AD. Como as duas matrizes têm a mesma dimensão m\times p, isso implica
A(B+D)=AB+AD.

Passo 7

Exemplo numérico concreto (para ver de forma palpável):
Seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]7 & 8\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule B+D:
B+D=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]7 & 9\end{pmatrix}.
Agora A(B+D):
A(B+D)=\begin{pmatrix} 1\cdot6+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot9\\[4pt] 3\cdot6+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}20 & 24\\[4pt]46 & 54\end{pmatrix}.
Por outro lado,
AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\[4pt]3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19 & 22\\[4pt]43 & 50\end{pmatrix},
AD=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot0+2\cdot1\\[4pt]3\cdot1+4\cdot0 & 3\cdot0+4\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Somando:
AB+AD=\begin{pmatrix}19+1 & 22+2\\[4pt]43+3 & 50+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}20 & 24\\[4pt]46 & 54\end{pmatrix},
que coincide com A(B+D), ilustrando a igualdade.]

Resposta

A(B+D)=AB+AD

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