Sejam
uma matriz quadrada de ordem
e
a matriz obtida de
multiplicando uma de suas linhas por uma constante
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido):
-
é uma matriz quadrada de ordem . -
é uma constante. -
é a matriz obtida a partir de multiplicando uma de suas linhas por . Ou seja, existe um índice tal que a -ésima linha de é vezes a -ésima linha de , e todas as outras linhas são iguais.
O que se pede: - Mostrar que
.
Passo 2
Lembrando a definição útil que vamos usar: a expansão de Laplace (desenvolvimento) da determinante ao longo de uma linha (ou coluna). Se denotarmos por
a entrada de
na linha
e coluna
, e por
o cofator correspondente, então a expansão ao longo da linha
é
Aqui:
-
é o elemento da linha e coluna de ; -
é o cofator, onde é a submatriz obtida de removendo a linha e a coluna .
Importante: cada cofatordepende apenas das entradas de que não estão na linha . Ou seja, ao manipular apenas a linha , os permanecem os mesmos.
Passo 3
Agora examine a matriz
. Por hipótese, a única diferença entre
e
é que a linha
de
é
vezes a linha
de
. Logo as entradas de
na linha
são
para todo
, e as entradas nas outras linhas permanecem iguais às de
.
Aplicando a expansão de Laplace ao longo da mesma linha
para
, obtemos
onde
são os cofatores de
. Mas, como os cofatores são determinados pelas submatrizes que se obtêm removendo a linha
(a mesma linha que foi escalada) e a coluna
, essas submatrizes não mudaram quando passamos de
para
. Portanto
para todo
.
Substituindo
e
na soma,
Passo 4
Agora fatoramos
da soma (já que é um escalar comum a todos os termos):
Mas a soma
é exatamente
pela expansão de Laplace da etapa anterior. Portanto chegamos à relação desejada:
Passo 5
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: seja
Temos
. Se multiplicarmos a primeira linha por
, obtemos
e
, que é
vezes
. Ou seja,
, conforme a propriedade provada.]
Passo 6
Comentário final amigo: a ideia central é simples e muito útil na prática da prova — a determinante é linear em cada linha separadamente. Isso significa que escalar uma linha por
escala a determinante por
. Se quiser, posso mostrar a prova alternativa usando a propriedade de multilinearidade ou discutir o que acontece ao somar linhas (ou trocar linhas) — isso ajuda a entender todas as operações elementares com determinantes. Força aí, você está indo bem!