Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e M a matriz obtida de A multiplicando uma de suas linhas por uma constante c \in \mathbb{R}. Mostre que \operatorname{det}(M)=c \cdot \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido):
  • A é uma matriz quadrada de ordem n.
  • c\in\mathbb{R} é uma constante.
  • M é a matriz obtida a partir de A multiplicando uma de suas linhas por c. Ou seja, existe um índice k\in\{1,\dots,n\} tal que a k-ésima linha de M é c vezes a k-ésima linha de A, e todas as outras linhas são iguais.
    O que se pede:
  • Mostrar que \operatorname{det}(M)=c\cdot\operatorname{det}(A).

Passo 2

Lembrando a definição útil que vamos usar: a expansão de Laplace (desenvolvimento) da determinante ao longo de uma linha (ou coluna). Se denotarmos por a_{ij} a entrada de A na linha i e coluna j, e por C_{ij} o cofator correspondente, então a expansão ao longo da linha k é
\operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{kj}\,C_{kj}.
Aqui:
  • a_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de A;
  • C_{kj}=(-1)^{k+j}\det(A_{kj}) é o cofator, onde A_{kj} é a submatriz obtida de A removendo a linha k e a coluna j.
    Importante: cada cofator C_{kj} depende apenas das entradas de A que não estão na linha k. Ou seja, ao manipular apenas a linha k, os C_{kj} permanecem os mesmos.

Passo 3

Agora examine a matriz M. Por hipótese, a única diferença entre M e A é que a linha k de M é c vezes a linha k de A. Logo as entradas de M na linha k são m_{kj}=c\,a_{kj} para todo j, e as entradas nas outras linhas permanecem iguais às de A.
Aplicando a expansão de Laplace ao longo da mesma linha k para \operatorname{det}(M), obtemos
\operatorname{det}(M)=\sum_{j=1}^{n} m_{kj}\,C'_{kj},
onde C'_{kj} são os cofatores de M. Mas, como os cofatores são determinados pelas submatrizes que se obtêm removendo a linha k (a mesma linha que foi escalada) e a coluna j, essas submatrizes não mudaram quando passamos de A para M. Portanto C'_{kj}=C_{kj} para todo j.
Substituindo m_{kj}=c\,a_{kj} e C'_{kj}=C_{kj} na soma,
\operatorname{det}(M)=\sum_{j=1}^{n} (c\,a_{kj})\,C_{kj}.

Passo 4

Agora fatoramos c da soma (já que é um escalar comum a todos os termos):
\operatorname{det}(M)=c\sum_{j=1}^{n} a_{kj}\,C_{kj}.
Mas a soma \sum_{j=1}^{n} a_{kj}\,C_{kj} é exatamente \operatorname{det}(A) pela expansão de Laplace da etapa anterior. Portanto chegamos à relação desejada:
\operatorname{det}(M)=c\cdot\operatorname{det}(A).

Passo 5

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Temos \operatorname{det}(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2. Se multiplicarmos a primeira linha por 5, obtemos
M=\begin{pmatrix}5 & 10\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},
e \operatorname{det}(M)=5\cdot4-10\cdot3=20-30=-10, que é 5 vezes -2. Ou seja, \operatorname{det}(M)=5\operatorname{det}(A), conforme a propriedade provada.]

Passo 6

Comentário final amigo: a ideia central é simples e muito útil na prática da prova — a determinante é linear em cada linha separadamente. Isso significa que escalar uma linha por c escala a determinante por c. Se quiser, posso mostrar a prova alternativa usando a propriedade de multilinearidade ou discutir o que acontece ao somar linhas (ou trocar linhas) — isso ajuda a entender todas as operações elementares com determinantes. Força aí, você está indo bem!

Resposta

\operatorname{det}(M)=c\cdot\operatorname{det}(A)

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