e pede para calcular duas coisas: (1) A + A^{t} e (2) A \cdot A^{t}.
As informações relevantes são exatamente os elementos de A indicados acima. Não há informação adicional nem figura.]
Passo 2
Definição e primeiro passo: a transposta de uma matriz A, denotada por A^{t}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos, (A^{t})_{ij}=A_{ji}.
Então as colunas de A^{t} serão essas linhas; ou, equivalentemente, as linhas de A^{t} são as colunas de A. Observando A vemos que A é simétrica porque A_{12}=3=A_{21}, A_{13}=1=A_{31} e A_{23}=2=A_{32}. Logo
(Expliquei cada passo: identificar que A^{t}=A, usar que soma de matrizes é elemento a elemento e que multiplicar por 2 escala todos os elementos.)]
Passo 4
Preparação para calcular A\cdot A^{t}.
Regra de multiplicação: o produto B= A\cdot A^{t} é uma matriz cujo elemento (i,j) é
B_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,(A^{t})_{kj}.
Como A^{t}=A, podemos escrever de forma mais intuitiva
B_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{jk},
isto é, B_{ij} é o produto escalar (dot product) entre a linha i de A e a linha j de A. Isso é útil porque reduz o cálculo a somas de produtos de coordenadas.
As linhas de A (que vamos usar para os produtos escalares) são:
Checagem rápida (sanity check): as dimensões batem (produto de 3\times3 por 3\times3 dá 3\times3), tanto A+A^{t} quanto A\cdot A^{t} são matrizes simétricas, como esperado (porque A é simétrica e A A^{t} sempre é simétrica). Tudo consistente.