Dada a matriz A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \\\\ 1 & 2 & 0\end{array}\right), calcule A+A^{t} \mathrm{e} A \cdot A^{t}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\[4pt] 3 & 4 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix}
e pede para calcular duas coisas: (1) A + A^{t} e (2) A \cdot A^{t}.
As informações relevantes são exatamente os elementos de A indicados acima. Não há informação adicional nem figura.]

Passo 2

Definição e primeiro passo: a transposta de uma matriz A, denotada por A^{t}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos, (A^{t})_{ij}=A_{ji}.
Vamos aplicar isso em A. As linhas de A são
\text{linha 1}=(2,3,1),\qquad \text{linha 2}=(3,4,2),\qquad \text{linha 3}=(1,2,0).
Então as colunas de A^{t} serão essas linhas; ou, equivalentemente, as linhas de A^{t} são as colunas de A. Observando A vemos que A é simétrica porque A_{12}=3=A_{21}, A_{13}=1=A_{31} e A_{23}=2=A_{32}. Logo
A^{t}=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\[4pt] 3 & 4 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix}=A.]

Passo 3

Cálculo de A + A^{t}.
Fórmula útil: a soma de matrizes é feita elemento a elemento, isto é, (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.
Como vimos no passo anterior A^{t}=A, então
A + A^{t}=A+A=2A.
Multiplicando cada entrada de A por 2, obtemos
A + A^{t}=2\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\[4pt] 3 & 4 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 6 & 2 \\[4pt] 6 & 8 & 4 \\[4pt] 2 & 4 & 0\end{pmatrix}.
(Expliquei cada passo: identificar que A^{t}=A, usar que soma de matrizes é elemento a elemento e que multiplicar por 2 escala todos os elementos.)]

Passo 4

Preparação para calcular A\cdot A^{t}.
Regra de multiplicação: o produto B= A\cdot A^{t} é uma matriz cujo elemento (i,j) é
B_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,(A^{t})_{kj}.
Como A^{t}=A, podemos escrever de forma mais intuitiva
B_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,A_{jk},
isto é, B_{ij} é o produto escalar (dot product) entre a linha i de A e a linha j de A. Isso é útil porque reduz o cálculo a somas de produtos de coordenadas.
As linhas de A (que vamos usar para os produtos escalares) são:
r_1=(2,3,1),\qquad r_2=(3,4,2),\qquad r_3=(1,2,0).

Passo 5

Cálculo explícito de cada entrada de B=A\cdot A^{t} como produto escalar das linhas:
  • B_{11}=r_1\cdot r_1=2^2+3^2+1^2=4+9+1=14.
  • B_{12}=r_1\cdot r_2=2\cdot3+3\cdot4+1\cdot2=6+12+2=20.
  • B_{13}=r_1\cdot r_3=2\cdot1+3\cdot2+1\cdot0=2+6+0=8.
  • B_{22}=r_2\cdot r_2=3^2+4^2+2^2=9+16+4=29.
  • B_{23}=r_2\cdot r_3=3\cdot1+4\cdot2+2\cdot0=3+8+0=11.
  • B_{33}=r_3\cdot r_3=1^2+2^2+0^2=1+4+0=5.
Como B é produto de uma matriz por sua transposta, B será simétrica, então os elementos fora da diagonal são:
B_{21}=B_{12}=20,\qquad B_{31}=B_{13}=8,\qquad B_{32}=B_{23}=11.
Portanto
A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}14 & 20 & 8 \\[4pt] 20 & 29 & 11 \\[4pt] 8 & 11 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Checagem rápida (sanity check): as dimensões batem (produto de 3\times3 por 3\times3 3\times3), tanto A+A^{t} quanto A\cdot A^{t} são matrizes simétricas, como esperado (porque A é simétrica e A A^{t} sempre é simétrica). Tudo consistente.

Resposta

A + A^{t}=\begin{pmatrix}4 & 6 & 2 \\[4pt] 6 & 8 & 4 \\[4pt] 2 & 4 & 0\end{pmatrix}
A\cdot A^{t}=\begin{pmatrix}14 & 20 & 8 \\[4pt] 20 & 29 & 11 \\[4pt] 8 & 11 & 5\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados