Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que:
i) A é simétrica se A^{t}=A.
ii) A é anti-simétrica se A^{t}=-A.
iii) A é idempotente se A^{2}=A.
iv) A é periódica com período k, se A^{k+1}=A, onde k é o menor inteiro positivo com tal propriedade.
v) A é nilpotente se existe n \in \mathbb{N}^{*} tal que A^{n}=0.
Usando tais definições, mostre as seguintes afirmações :
a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas também é simétrica.
c) Análogo ao item anterior para matrizes anti-simétricas. (Isto significa que conjunto da matizes simétricas e o conjunto das matrizes anti-simétricas são fechados com respeito a soma e a multiplicação por escalar.)
d) Sejam A e B são simétricas. Mostre que A B é simétrica se, e somente se, A e B comutam (i.e. A B=B A ).
e) Se A é simultaneamente simétrica e anti-simétrica, então A é a matriz nula.
f) As matrizes B=A+A^{t} e C=A-A^{t} são simétrica e anti-simétrica, respectivamente ( A é uma matriz quadrada arbitrária).
g) Toda matriz quadrada A pode ser decomposta, de maneira única, como A=B+C, onde B é simétrica e C é anti-simétrica.
h) Se A B=A e B A=B, então A e B são idempotentes.
i) Se A é idempotente então B=I-A é idempotente, e além disso, A B=B A=0.
j) Se A é nilpotente com n=2, então A(I+A)^{3}=A.
k) Se A é nilpotente, então A não é invertível.
l) Se A é simétrica, então B^{t} A B é simétrica ( B quadrada de mesma ordem que A ).
m) Se A é anti-simétrica, então B^{t} A B é anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado dá definições sobre matrizes quadradas e pede para mostrar várias propriedades (itens de (a) até (m)). Vou listar explicitamente as informações que temos e as perguntas que precisamos responder:
  • Definições dadas:
    • i) Uma matriz A é simétrica se \,A^{t}=A.
    • ii) Uma matriz A é anti-simétrica se \,A^{t}=-A.
    • iii) Uma matriz A é idempotente se \,A^{2}=A.
    • iv) A é periódica com período k se \,A^{k+1}=A, com k o menor inteiro positivo com tal propriedade.
    • v) A é nilpotente se existe n\in\mathbb{N}^{*} tal que \,A^{n}=0.
  • Perguntas (o que é pedido):
    • (a) Mostrar que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
    • (b) Mostrar que soma e multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas (fechamento).
    • (c) Mostrar o análogo do item (b) para matrizes anti-simétricas.
    • (d) Sejam A e B simétricas. Mostrar que AB é simétrica se, e somente se, A e B comutam (i.e. AB=BA).
    • (e) Mostrar que se A é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então A é a matriz nula.
    • (f) Para matriz arbitrária A, mostrar que B=A+A^{t} é simétrica e C=A-A^{t} é anti-simétrica.
    • (g) Mostrar que toda matriz quadrada A pode ser escrita de forma única como A=B+C com B simétrica e C anti-simétrica.
    • (h) Mostrar que se AB=A e BA=B, então A e B são idempotentes.
    • (i) Mostrar que se A é idempotente então B=I-A é idempotente e além disso AB=BA=0.
    • (j) Mostrar que se A é nilpotente com n=2 (ou seja, A^{2}=0), então A(I+A)^{3}=A.
    • (k) Mostrar que se A é nilpotente então A não é invertível.
    • (l) Mostrar que se A é simétrica então B^{t}AB é simétrica (para B quadrada da mesma ordem).
    • (m) Mostrar que se A é anti-simétrica então B^{t}AB é anti-simétrica.
Nada mais será assumido nesta etapa; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos enunciar e justificar algumas propriedades básicas do transposto que usaremos muitas vezes (são fáceis, mas vale revisar devagarinho):
  • Propriedade 1: \,(A^{t})^{t}=A.
    Justificativa: aplicar a definição de transposta duas vezes restaura a posição das entradas; formalmente ((A^{t})^{t})_{ij}=(A^{t})_{ji}=A_{ij}.
  • Propriedade 2 (soma): \,(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
    Justificativa: a entrada (i,j) do lado esquerdo é (A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}, que é exatamente a entrada (i,j) do lado direito.
  • Propriedade 3 (multiplicação por escalar): \,(cA)^{t}=cA^{t} para escalar c.
    Justificativa: transpor não altera multiplicação escalar, entra diretamente na entrada.
  • Propriedade 4 (produto): \,(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
    Justificativa: pela definição de produto e transposição, a entrada (i,j) de (AB)^{t} é (AB)_{ji}=\sum_{k}A_{jk}B_{ki}, que é a entrada (i,j) de B^{t}A^{t}.
  • Observação sobre entradas da diagonal: a entrada (i,i) do transposto satisfaz (A^{t})_{ii}=A_{ii}. Isso será útil para relacionar diagonais de A e A^{t}.
Essas propriedades servem como “ferramentas” para provar todos os itens seguintes.

Passo 3

(a) Provar que as entradas da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são nulas.
  • Começamos da definição: se A é anti-simétrica então \,A^{t}=-A.
  • Olhando a entrada (i,i) (diagonal), aplicamos transposição: (A^{t})_{ii}=A_{ii} (pela observação do passo anterior).
  • Pela igualdade A^{t}=-A obtemos (A^{t})_{ii}=-(A)_{ii}.
  • Então A_{ii}= -A_{ii}. Somando A_{ii} aos dois lados obtemos 2A_{ii}=0.
  • Em campos de característica diferente de 2 (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), isso implica A_{ii}=0.
  • Conclusão: todas as entradas da diagonal principal de A são zero.
(Dica: normalmente trabalhamos sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}, então a divisão por 2 é válida.)

Passo 4

(b) Mostrar que soma e multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas.
  • Seja A e B simétricas, isto é A^{t}=A e B^{t}=B.
  • Para a soma: use a Propriedade 2 do passo 2: (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B,portanto A+B é simétrica.
  • Para multiplicação por escalar: seja c escalar. Pela Propriedade 3, (cA)^{t}=cA^{t}=cA,logo cA é simétrica.
  • Conclusão: o conjunto de matrizes simétricas é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 5

(c) Mostrar análogo para matrizes anti-simétricas.
  • Seja A e B anti-simétricas, então A^{t}=-A e B^{t}=-B.
  • Soma: pela Propriedade 2, (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=-A - B = -(A+B),portanto A+B é anti-simétrica.
  • Multiplicação por escalar: para escalar c, (cA)^{t}=cA^{t}=c(-A)=-(cA),então cA é anti-simétrica.
  • Conclusão: o conjunto de matrizes anti-simétricas é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 6

(d) Sejam A e B simétricas. Mostrar que AB é simétrica se, e somente se, AB=BA.
  • Direção "se AB é simétrica então AB=BA":
    • Se AB simétrica então (AB)^{t}=AB.
    • Pela Propriedade 4, (AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
    • Como A e B são simétricas, A^{t}=A e B^{t}=B. Assim (AB)^{t}=BA.
    • Portanto AB=BA.
  • Direção “se AB=BA então AB é simétrica”:
    • Comece de (AB)^{t}=B^{t}A^{t} (Propriedade 4).
    • Como A^{t}=A e B^{t}=B, obtemos (AB)^{t}=BA.
    • Se AB=BA, então (AB)^{t}=AB, logo AB é simétrica.
  • Conclusão: AB simétrica \iff AB=BA.

Passo 7

(e) Mostrar que se A é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então A é a matriz nula.
  • Hipótese: A^{t}=A e A^{t}=-A.
  • Igualando as duas expressões para A^{t} obtemos A=-A.
  • Isto implica 2A=0. Em campos onde 2 é invertível (ex.: \mathbb{R}), segue A=0.
  • Conclusão: a única matriz que é simultaneamente simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.

Passo 8

(f) Para matriz arbitrária A, mostrar que B=A+A^{t} é simétrica e C=A-A^{t} é anti-simétrica.
  • Calcular B^{t}:
    B^{t}=(A+A^{t})^{t}=A^{t}+(A^{t})^{t}=A^{t}+A=B,
    então B é simétrica.
  • Calcular C^{t}:
    C^{t}=(A-A^{t})^{t}=A^{t}-(A^{t})^{t}=A^{t}-A=-(A-A^{t})=-C,
    então C é anti-simétrica.

Passo 9

(g) Decomposição única A=B+C com B simétrica e C anti-simétrica.
  • Construção padrão (existência): defina
    B=\tfrac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr),\qquad C=\tfrac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr).
    • Verificar que B é simétrica: B^{t}=\tfrac{1}{2}\bigl(A^{t}+(A^{t})^{t}\bigr)=\tfrac{1}{2}(A^{t}+A)=B.
    • Verificar que C é anti-simétrica: C^{t}=\tfrac{1}{2}\bigl(A^{t}-(A^{t})^{t}\bigr)=\tfrac{1}{2}(A^{t}-A)=-\tfrac{1}{2}(A-A^{t})=-C.
    • Somando B+C obtemos B+C=\tfrac{1}{2}(A+A^{t})+\tfrac{1}{2}(A-A^{t})=A.
    Assim a decomposição existe.
  • Unicidade: suponha A=B'+C' com B' simétrica e C' anti-simétrica. Então
    B-B' = C' - C.
    O lado esquerdo é simétrico (diferença de simétricas) e o lado direito é anti-simétrico (diferença de anti-simétricas), logo D:=B-B' é simultaneamente simétrico e anti-simétrico. Pelo item (e), D=0, então B=B' e portanto C=C'. Assim a decomposição é única.
(Nota: usamos \tfrac{1}{2}, logo estamos assumindo um campo onde 2 é invertível, como \mathbb{R}.)

Passo 10

(h) Se AB=A e BA=B então A e B são idempotentes.
  • Mostrar que A^{2}=A:
    • Como AB=A, podemos substituir A por AB em A^{2}: A^{2}=AA=(AB)A \quad\text{(porque }AB=A\text{)}.
    • Pela associatividade, (AB)A=A(BA).
    • Como BA=B, então A(BA)=AB.
    • E AB=A novamente, logo A^{2}=A.
  • Mostrar que B^{2}=B:
    • Comece multiplicando AB=A à esquerda por B: B(AB) = BA.
    • Associatividade dá (BA)B = BA.
    • Como BA=B, o lado esquerdo é B B = B^{2} e o direito é BA=B. Assim B^{2}=B.
  • Conclusão: A e B são idempotentes.

Passo 11

(i) Se A é idempotente então B=I-A é idempotente, e além disso AB=BA=0.
  • Calcular B^{2}:
    B^{2}=(I-A)^{2}=I -2A + A^{2}.
    Como A^{2}=A (idempotência), isto se torna
    B^{2}=I -2A + A = I - A = B.
    (Novamente usamos que multiplicação por 2 faz sentido no campo.)
  • Calcular AB:
    AB = A(I-A) = A - A^{2} = A - A = 0.
  • Calcular BA:
    BA = (I-A)A = A - A^{2} = A - A = 0.
  • Conclusão: B é idempotente e AB=BA=0.

Passo 12

(j) Se A é nilpotente com n=2 (i.e. A^{2}=0), então A(I+A)^{3}=A.
  • Expandir (I+A)^{3} pela fórmula do binômio (ou multiplicando): (I+A)^{3}=I+3A+3A^{2}+A^{3}.
  • Usando A^{2}=0 implica A^{3}=A^{2}A=0. Logo (I+A)^{3}=I+3A.
  • Multiplicando por A à esquerda: A(I+A)^{3}=A(I+3A)=A+3A^{2}=A+3\cdot 0 = A.
  • Conclusão: A(I+A)^{3}=A.

Passo 13

(k) Se A é nilpotente então A não é invertível.
  • Suponha por absurdo que A é invertível e que existe n\ge 1 com A^{n}=0.
  • Se A é invertível, então A^{n} também é invertível (pois (A^{-1})^{n} é inversa de A^{n}). Mas A^{n}=0 não é invertível. Contradição.
  • Alternativamente, aplicando determinante: \det(A^{n})=\det(A)^{n}=0 implica \det(A)=0, então A não é invertível.
  • Conclusão: matrizes nilpotentes não são invertíveis.

Passo 14

(l) Se A é simétrica, então B^{t}AB é simétrica (para B quadrada da mesma ordem).
  • Calcule o transposto: (B^{t}AB)^{t}=B^{t}A^{t}B.Justificação: usar a regra geral (XYZ)^{t}=Z^{t}Y^{t}X^{t} com X=B^{t}, Y=A, Z=B; obtemos (B^{t}AB)^{t}=B^{t}A^{t}B.
  • Como A é simétrica, A^{t}=A. Logo (B^{t}AB)^{t}=B^{t}AB,portanto B^{t}AB é simétrica.

Passo 15

(m) Se A é anti-simétrica, então B^{t}AB é anti-simétrica.
  • Igual procedimento do item (l): (B^{t}AB)^{t}=B^{t}A^{t}B.
  • Como A é anti-simétrica, A^{t}=-A. Logo (B^{t}AB)^{t}=B^{t}(-A)B=-\bigl(B^{t}AB\bigr).
  • Portanto B^{t}AB é anti-simétrica.

Resposta

(a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
(b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas (fechamento).
(c) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes anti-simétricas são anti-simétricas (fechamento).
(d) Se A e B são simétricas então AB é simétrica \iff AB=BA.
(e) Se A é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então A=0.
(f) Para qualquer A, B=A+A^{t} é simétrica e C=A-A^{t} é anti-simétrica.
(g) Toda matriz A pode ser escrita de forma única A=B+C com B=\tfrac{1}{2}(A+A^{t}) simétrica e C=\tfrac{1}{2}(A-A^{t}) anti-simétrica.
(h) Se AB=A e BA=B então A^{2}=A e B^{2}=B (ambas idempotentes).
(i) Se A é idempotente então B=I-A é idempotente e AB=BA=0.
(j) Se A^{2}=0 então A(I+A)^{3}=A.
(k) Se A é nilpotente então A não é invertível.
(l) Se A é simétrica então B^{t}AB é simétrica.
(m) Se A é anti-simétrica então B^{t}AB é anti-simétrica.

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