Seja
uma matriz quadrada. Dizemos que:
i)
é simétrica se
.
ii)
é anti-simétrica se
.
iii)
é idempotente se
.
iv)
é periódica com período
, se
, onde
é o menor inteiro positivo com tal propriedade.
v)
é nilpotente se existe
tal que
.
Usando tais definições, mostre as seguintes afirmações :
a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas também é simétrica.
c) Análogo ao item anterior para matrizes anti-simétricas. (Isto significa que conjunto da matizes simétricas e o conjunto das matrizes anti-simétricas são fechados com respeito a soma e a multiplicação por escalar.)
d) Sejam
e
são simétricas. Mostre que
é simétrica se, e somente se,
e
comutam (i.e.
).
e) Se
é simultaneamente simétrica e anti-simétrica, então
é a matriz nula.
f) As matrizes
e
são simétrica e anti-simétrica, respectivamente (
é uma matriz quadrada arbitrária).
g) Toda matriz quadrada
pode ser decomposta, de maneira única, como
, onde
é simétrica e
é anti-simétrica.
h) Se
e
, então
e
são idempotentes.
i) Se
é idempotente então
é idempotente, e além disso,
.
j) Se
é nilpotente com
, então
.
k) Se
é nilpotente, então
não é invertível.
l) Se
é simétrica, então
é simétrica (
quadrada de mesma ordem que
).
m) Se
é anti-simétrica, então
é anti-simétrica.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas também é simétrica.
c) Análogo ao item anterior para matrizes anti-simétricas. (Isto significa que conjunto da matizes simétricas e o conjunto das matrizes anti-simétricas são fechados com respeito a soma e a multiplicação por escalar.)
d) Sejam
e) Se
f) As matrizes
g) Toda matriz quadrada
h) Se
i) Se
j) Se
k) Se
l) Se
m) Se
Passo 1
O enunciado dá definições sobre matrizes quadradas e pede para mostrar várias propriedades (itens de (a) até (m)). Vou listar explicitamente as informações que temos e as perguntas que precisamos responder:
-
Definições dadas:
- i) Uma matriz
é simétrica se . - ii) Uma matriz
é anti-simétrica se . - iii) Uma matriz
é idempotente se . - iv)
é periódica com período se , com o menor inteiro positivo com tal propriedade. - v)
é nilpotente se existe tal que .
- i) Uma matriz
-
Perguntas (o que é pedido):
- (a) Mostrar que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
- (b) Mostrar que soma e multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas (fechamento).
- (c) Mostrar o análogo do item (b) para matrizes anti-simétricas.
- (d) Sejam
e simétricas. Mostrar que é simétrica se, e somente se, e comutam (i.e. ). - (e) Mostrar que se
é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então é a matriz nula. - (f) Para matriz arbitrária
, mostrar que é simétrica e é anti-simétrica. - (g) Mostrar que toda matriz quadrada
pode ser escrita de forma única como com simétrica e anti-simétrica. - (h) Mostrar que se
e , então e são idempotentes. - (i) Mostrar que se
é idempotente então é idempotente e além disso . - (j) Mostrar que se
é nilpotente com (ou seja, ), então . - (k) Mostrar que se
é nilpotente então não é invertível. - (l) Mostrar que se
é simétrica então é simétrica (para quadrada da mesma ordem). - (m) Mostrar que se
é anti-simétrica então é anti-simétrica.
Nada mais será assumido nesta etapa; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos enunciar e justificar algumas propriedades básicas do transposto que usaremos muitas vezes (são fáceis, mas vale revisar devagarinho):
-
Propriedade 1:
.
Justificativa: aplicar a definição de transposta duas vezes restaura a posição das entradas; formalmente. -
Propriedade 2 (soma):
.
Justificativa: a entradado lado esquerdo é , que é exatamente a entrada do lado direito. -
Propriedade 3 (multiplicação por escalar):
para escalar .
Justificativa: transpor não altera multiplicação escalar, entra diretamente na entrada. -
Propriedade 4 (produto):
.
Justificativa: pela definição de produto e transposição, a entradade é , que é a entrada de . -
Observação sobre entradas da diagonal: a entrada
do transposto satisfaz . Isso será útil para relacionar diagonais de e .
Essas propriedades servem como “ferramentas” para provar todos os itens seguintes.
Passo 3
(a) Provar que as entradas da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são nulas.
- Começamos da definição: se
é anti-simétrica então . - Olhando a entrada
(diagonal), aplicamos transposição: (pela observação do passo anterior). - Pela igualdade
obtemos . - Então
. Somando aos dois lados obtemos . - Em campos de característica diferente de
(por exemplo ou ), isso implica . - Conclusão: todas as entradas da diagonal principal de
são zero.
(Dica: normalmente trabalhamos sobre
ou
, então a divisão por
é válida.)
Passo 4
(b) Mostrar que soma e multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas.
- Seja
e simétricas, isto é e . - Para a soma: use a Propriedade 2 do passo 2:
portanto é simétrica. - Para multiplicação por escalar: seja
escalar. Pela Propriedade 3, logo é simétrica. - Conclusão: o conjunto de matrizes simétricas é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 5
(c) Mostrar análogo para matrizes anti-simétricas.
- Seja
e anti-simétricas, então e . - Soma: pela Propriedade 2,
portanto é anti-simétrica. - Multiplicação por escalar: para escalar
, então é anti-simétrica. - Conclusão: o conjunto de matrizes anti-simétricas é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 6
(d) Sejam
e
simétricas. Mostrar que
é simétrica se, e somente se,
.
-
Direção "se
é simétrica então ": - Se
simétrica então . - Pela Propriedade 4,
. - Como
e são simétricas, e . Assim . - Portanto
.
- Se
-
Direção “se
então é simétrica”: - Comece de
(Propriedade 4). - Como
e , obtemos . - Se
, então , logo é simétrica.
- Comece de
-
Conclusão:
simétrica .
Passo 7
(e) Mostrar que se
é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então
é a matriz nula.
- Hipótese:
e . - Igualando as duas expressões para
obtemos . - Isto implica
. Em campos onde é invertível (ex.: ), segue . - Conclusão: a única matriz que é simultaneamente simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.
Passo 8
(f) Para matriz arbitrária
, mostrar que
é simétrica e
é anti-simétrica.
-
Calcular
: entãoé simétrica. -
Calcular
: entãoé anti-simétrica.
Passo 9
(g) Decomposição única
com
simétrica e
anti-simétrica.
-
Construção padrão (existência): defina
- Verificar que
é simétrica: - Verificar que
é anti-simétrica: - Somando
obtemos
Assim a decomposição existe. - Verificar que
-
Unicidade: suponha
com simétrica e anti-simétrica. Então O lado esquerdo é simétrico (diferença de simétricas) e o lado direito é anti-simétrico (diferença de anti-simétricas), logoé simultaneamente simétrico e anti-simétrico. Pelo item (e), , então e portanto . Assim a decomposição é única.
(Nota: usamos
, logo estamos assumindo um campo onde
é invertível, como
.)
Passo 10
(h) Se
e
então
e
são idempotentes.
-
Mostrar que
: - Como
, podemos substituir por em : - Pela associatividade,
. - Como
, então . - E
novamente, logo .
- Como
-
Mostrar que
: - Comece multiplicando
à esquerda por : - Associatividade dá
. - Como
, o lado esquerdo é e o direito é . Assim .
- Comece multiplicando
-
Conclusão:
e são idempotentes.
Passo 11
(i) Se
é idempotente então
é idempotente, e além disso
.
-
Calcular
: Como(idempotência), isto se torna (Novamente usamos que multiplicação porfaz sentido no campo.) -
Calcular
: -
Calcular
: -
Conclusão:
é idempotente e .
Passo 12
(j) Se
é nilpotente com
(i.e.
), então
.
- Expandir
pela fórmula do binômio (ou multiplicando): - Usando
implica . Logo - Multiplicando por
à esquerda: - Conclusão:
.
Passo 13
(k) Se
é nilpotente então
não é invertível.
- Suponha por absurdo que
é invertível e que existe com . - Se
é invertível, então também é invertível (pois é inversa de ). Mas não é invertível. Contradição. - Alternativamente, aplicando determinante:
implica , então não é invertível. - Conclusão: matrizes nilpotentes não são invertíveis.
Passo 14
(l) Se
é simétrica, então
é simétrica (para
quadrada da mesma ordem).
- Calcule o transposto:
Justificação: usar a regra geral com , , ; obtemos . - Como
é simétrica, . Logo portanto é simétrica.
Passo 15
(m) Se
é anti-simétrica, então
é anti-simétrica.
- Igual procedimento do item (l):
- Como
é anti-simétrica, . Logo - Portanto
é anti-simétrica.
Resposta
(a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são todos nulos.
(b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas (fechamento).
(c) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes anti-simétricas são anti-simétricas (fechamento).
(d) Se e
são simétricas então
é simétrica
.
(e) Se é simultaneamente simétrica e anti-simétrica então
.
(f) Para qualquer ,
é simétrica e
é anti-simétrica.
(g) Toda matriz pode ser escrita de forma única
com
simétrica e
anti-simétrica.
(h) Se e
então
e
(ambas idempotentes).
(i) Se é idempotente então
é idempotente e
.
(j) Se então
.
(k) Se é nilpotente então
não é invertível.
(l) Se é simétrica então
é simétrica.
(m) Se é anti-simétrica então
é anti-simétrica.
(b) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes simétricas são simétricas (fechamento).
(c) A soma e a multiplicação por escalar de matrizes anti-simétricas são anti-simétricas (fechamento).
(d) Se
(e) Se
(f) Para qualquer
(g) Toda matriz
(h) Se
(i) Se
(j) Se
(k) Se
(l) Se
(m) Se