Sejam E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) uma base, \vec{t}_{1}=2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+\vec{e}_{3}, \vec{t}_{2}=\vec{e}_{2}-\vec{e}_{3}, \vec{t}_{3}=3 \vec{e}_{3}.
Calcule m para que (0, m, 1)_{z} e (0,1,-1)_{p} sejam LD.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Uma base E=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3).
  • Três vetores expressos em função de E:
    \vec{t}_1=2\vec{e}_1-\vec{e}_2+\vec{e}_3,
    \vec{t}_2=\vec{e}_2-\vec{e}_3,
    \vec{t}_3=3\vec{e}_3.
  • Dois vetores escritos por coordenadas com subscritos diferentes:
    (0,m,1)_{z} e (0,1,-1)_{p}.
O que o exercício pede:
  • Calcular o(s) valor(es) de m para que esses dois vetores sejam linearmente dependentes (LD).
Interpretação dos subscritos (escolha natural dada a informação do enunciado):
  • Vou interpretar (0,m,1)_{z} como as coordenadas relativas à base Z=(\vec{t}_1,\vec{t}_2,\vec{t}_3), ou seja, o vetor v = 0\vec{t}_1 + m\vec{t}_2 + 1\vec{t}_3.
  • Vou interpretar (0,1,-1)_{p} como as coordenadas relativas à base P=E=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3), ou seja, o vetor u = 0\vec{e}_1 + 1\vec{e}_2 -1\vec{e}_3.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática curta):
  • Coordenadas relativas a uma base: se B=(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3) é uma base, o vetor com coordenadas (a,b,c)_B corresponde ao vetor a\vec{b}_1+b\vec{b}_2+c\vec{b}_3 escrito na base canônica indicada (aqui, E é a base em que conhecemos os \vec{e}_i).
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se e só se um é múltiplo escalar do outro (no caso de apenas dois vetores isso é simples: existe \lambda tal que v=\lambda u).

Passo 3

Escrever v (o vetor com subscript z) na base E:
  • Por definição de coordenadas em Z, v = 0\vec{t}_1 + m\vec{t}_2 + 1\vec{t}_3 = m\vec{t}_2 + \vec{t}_3.
  • Substituindo \vec{t}_2 e \vec{t}_3 em termos de \vec{e}_i: \vec{t}_2 = \vec{e}_2 - \vec{e}_3,\qquad \vec{t}_3 = 3\vec{e}_3.
  • Portanto v = m(\vec{e}_2-\vec{e}_3) + 3\vec{e}_3 = m\vec{e}_2 + (-m+3)\vec{e}_3.
  • Escrito em coordenadas na base E, isso é v = (0,\; m,\; -m+3)_E.

Passo 4

Escrever u (o vetor com subscript p) na base E:
  • Como p foi interpretado como P=E, u = (0,1,-1)_P = 0\vec{e}_1 + 1\vec{e}_2 -1\vec{e}_3 = (0,\;1,\;-1)_E.

Passo 5

Condição de dependência linear entre v e u:
  • Dois vetores v e u são LD se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda u.
  • Vamos impor v=\lambda u e resolver para \lambda e m.

Passo 6

Montar as equações por componente (todas em relação à base E\)): - Igualando componentes de \(v=(0,m,-m+3)\) e \(\lambda u=(\lambda\cdot 0,\lambda\cdot 1,\lambda\cdot(-1))=(0,\lambda,-\lambda)\), obtemos o sistema \[\begin{cases} 0 = 0 &\text{(componente em }\vec{e}_1)\\[4pt] m = \lambda &\text{(componente em }\vec{e}_2)\\[4pt] -m+3 = -\lambda &\text{(componente em }\vec{e}_3). \end{cases}
  • Da segunda equação segue (\lambda = m].
  • Substituindo na terceira equação: -m+3 = -\lambda = -m.
  • Isso implica -m+3 = -m \quad\Longrightarrow\quad 3=0,que é uma contradição impossível.]

Passo 7

Interpretação do resultado e conclusão do cálculo:
  • A contradição mostra que não existe nenhum \lambda compatível com as componentes quando tentamos v=\lambda u, para qualquer valor de m.
  • Em outras palavras, não há valor de m que torne v e u proporcionais, portanto não há valor de m que torne os vetores LD.

Resposta

Não existe valor de m que torne (0,m,1)_{z} e (0,1,-1)_{p} linearmente dependentes.

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