Sejam
uma base,
.
Calcule
para que
e
sejam LD.
Calcule
Passo 1
O enunciado fornece:
- Uma base
. - Três vetores expressos em função de
:
,
,
. - Dois vetores escritos por coordenadas com subscritos diferentes:
e .
O que o exercício pede:
- Calcular o(s) valor(es) de
para que esses dois vetores sejam linearmente dependentes (LD).
Interpretação dos subscritos (escolha natural dada a informação do enunciado):
- Vou interpretar
como as coordenadas relativas à base , ou seja, o vetor . - Vou interpretar
como as coordenadas relativas à base , ou seja, o vetor .
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática curta):
- Coordenadas relativas a uma base: se
é uma base, o vetor com coordenadas corresponde ao vetor escrito na base canônica indicada (aqui, é a base em que conhecemos os ). - Dois vetores em
são linearmente dependentes se e só se um é múltiplo escalar do outro (no caso de apenas dois vetores isso é simples: existe tal que ).
Passo 3
Escrever
(o vetor com subscript
) na base
:
- Por definição de coordenadas em
, - Substituindo
e em termos de : - Portanto
- Escrito em coordenadas na base
, isso é
Passo 4
Escrever
(o vetor com subscript
) na base
:
- Como
foi interpretado como ,
Passo 5
Condição de dependência linear entre
e
:
- Dois vetores
e são LD se existe tal que . - Vamos impor
e resolver para e .
Passo 6
Montar as equações por componente (todas em relação à base
- Da segunda equação segue (\lambda = m].
- Substituindo na terceira equação:
- Isso implica
que é uma contradição impossível.]
Passo 7
Interpretação do resultado e conclusão do cálculo:
- A contradição mostra que não existe nenhum
compatível com as componentes quando tentamos , para qualquer valor de . - Em outras palavras, não há valor de
que torne e proporcionais, portanto não há valor de que torne os vetores LD.
Resposta
Não existe valor de
que torne
e
linearmente dependentes.