Seja uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) é anti-simétrica. Que podemos dizer se não for uma matriz quadrada?
(b) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
Sugestão: Use as matrizes e .
(c) Ilustre a propriedade (c) para a matriz .
Passo 1
O enunciado nos pede para trabalhar com matrizes quadradas e antissimétricas, mostrando que para qualquer matriz quadrada A vale que A - A^t é antissimétrica, discutindo o que acontece se A não for quadrada, provando que toda matriz quadrada C é soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica usando Cpm C^t, e ilustrando essa decomposição no caso específico de
C = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Passo 2
Para mostrar que A - A^t é antissimétrica basta calcular o transposto e ver que ele é o negativo:
(A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t = A^t - A = -l(A - A^tr)
Portanto (A - A^t)^t = -,(A - A^t), que é exatamente a definição de matriz antissimétrica.
Passo 3
Se A não for quadrada, digamos de tamanho mtimes n com mneq n, então A^t é ntimes m e não podemos fazer a subtração A-A^t (as dimensões não coincidem). Logo a propriedade só faz sentido para matrizes quadradas.
(a) A - A^t é antissimétrica porque (A - A^t)^t = -,(A - A^t). Se A não for quadrada, A - A^t não está definido.
(b) Toda matriz quadrada C pode ser escrita como
C = C + C^t2 ;+;C - C^t2,
onde a primeira parcela é simétrica e a segunda é antissimétrica.
(c) Para C=1&2&34&5&67&8&9
obtivemos