Seja A uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) A-A^t é anti-simétrica. Que podemos dizer se A não for uma matriz quadrada?
(b) Toda matriz quadrada C é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
Sugestão: Use as matrizes A+A^t e A-A^t.
(c) Ilustre a propriedade (c) para a matriz C=[ccc1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9].

Passo 1

O enunciado nos pede para trabalhar com matrizes quadradas e antissimétricas, mostrando que para qualquer matriz quadrada A vale que A - A^t é antissimétrica, discutindo o que acontece se A não for quadrada, provando que toda matriz quadrada C é soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica usando Cpm C^t, e ilustrando essa decomposição no caso específico de
C = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9

Passo 2

Para mostrar que A - A^t é antissimétrica basta calcular o transposto e ver que ele é o negativo:
(A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t = A^t - A = -l(A - A^tr)
Portanto (A - A^t)^t = -,(A - A^t), que é exatamente a definição de matriz antissimétrica.

Passo 3

Se A não for quadrada, digamos de tamanho mtimes n com mneq n, então A^t é ntimes m e não podemos fazer a subtração A-A^t (as dimensões não coincidem). Logo a propriedade só faz sentido para matrizes quadradas.

Passo 4

Para qualquer matriz quadrada C definimos
S = C + C^t2, K = C - C^t2
Então
S^t = C^t + (C^t)^t2 = C^t + C2 = S, K^t = C^t - (C^t)^t2 = C^t - C2 = -,K,
mostrando que S é simétrica e K é antissimétrica, e claramente
C = S + K

Passo 5

No caso
C = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 ,
temos
C^t = 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 ,
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S = C + C^t2 = 1 & 3 & 5 3 & 5 & 7 5 & 7 & 9 , K = C - C^t2 = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 ,
e de fato C = S + K.

Resposta

(a) A - A^t é antissimétrica porque (A - A^t)^t = -,(A - A^t). Se A não for quadrada, A - A^t não está definido.
(b) Toda matriz quadrada C pode ser escrita como
C = C + C^t2 ;+;C - C^t2,
onde a primeira parcela é simétrica e a segunda é antissimétrica.
(c) Para
C=1&2&34&5&67&8&9
obtivemos
S=1&3&53&5&75&7&9, K=0&-1&-21&0&-12&1&0,
e verifica-se C=S+K.

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