Seja uma matriz real de ordem , e a matriz em blocos dada por
onde indica a matriz nula de ordem indica a matriz nula de ordem e é a matriz transposta de . Seja um autovetor de correspondente ao autovalor , sendo e vetores com e coordenadas, respectivamente.
(a) Mostre que também é autovalor de .
(b) Mostre que é autovalor de e de .
(c) Mostre que é uma matriz simétrica.
(d) Se é a matriz identidade de ordem determine os autovalores e autovetores de , usando os itens acima.
Passo 1
O enunciado define a matriz em blocos
e diz que é um autovetor de para o autovalor . Logo,
o que equivale ao sistema
Vamos usar esse sistema para resolver (a), (b) e depois (c) e (d).]
Passo 2
Para (a), definimos o vetor
Aplicando B em w:
B w = 0m&A A^T&0n v1 -,v2 = A(-v2) A^Tv1 = -,A v2 A^Tv1
Usando A v2=lambda v1 e A^Tv1=lambda v2, obtemos
B w = -,lambda v1 lambda v2 = -,lambda v1 -,v2 = -,lambda,w