Seja A uma matriz real de ordem m times n, e B a matriz em blocos dada por
B=(cc 0m & A A^T & 0n )
onde 0m indica a matriz nula de ordem m, 0n indica a matriz nula de ordem n e A^T é a matriz transposta de A. Seja v=(v1, v2)^T um autovetor de B correspondente ao autovalor lambda, sendo v1 e v2 vetores com m e n coordenadas, respectivamente.
(a) (0,5) Mostre que -lambda também é autovalor de B.
(b) (0,5) Mostre que lambda^2 é autovalor de A^T A e de A A^T.
(c) (0,5) Mostre que B é uma matriz simétrica.
(d) (1,0) Se A é a matriz identidade de ordem 2,(A=I, 2 times 2) determine os autovalores e autovetores de B, usando os itens acima.

Passo 1

O enunciado define a matriz em blocos
B = 0m & A [6pt] A^T & 0n
e diz que l(v1,v2r)^T é um autovetor de B para o autovalor lambda. Logo,
B v1 v2 = lambda v1 v2 ,
o que equivale ao sistema
A v2 = lambda v1, A^Tv1=lambda v2
Vamos usar esse sistema para resolver (a), (b) e depois (c) e (d).]

Passo 2

Para (a), definimos o vetor
w = v1 -,v2
Aplicando B em w:
B w = 0m&A A^T&0n v1 -,v2 = A(-v2) A^Tv1 = -,A v2 A^Tv1
Usando A v2=lambda v1 e A^Tv1=lambda v2, obtemos
B w = -,lambda v1 lambda v2 = -,lambda v1 -,v2 = -,lambda,w
Portanto -lambda também é autovalor de B.

Passo 3

Para (b), ainda partindo de
A v2 = lambda v1, A^Tv1=lambda v2,
multiplicamos a primeira por A^T à esquerda:
A^T(A v2) = A^T(lambda v1) ;Longrightarrow; A^TA,v2 = lambda,(A^Tv1) = lambda^2v2
Logo lambda^2 é autovalor de A^TA (com autovetor v2). Analogamente, multiplicamos a segunda por A à esquerda:
A(A^Tv1) = A(lambda v2) ;Longrightarrow; AA^Tv1 = lambda,(A v2) = lambda^2v1,
logo lambda^2 também é autovalor de AA^T (com autovetor v1).

Passo 4

Para (c), basta ver que os blocos de B satisfazem
(0m)^T = 0m, (A)^T = A^T, (A^T)^T = A, (0n)^T = 0n
Portanto
B^T = 0m^T & (A^T)^T[3pt] A^T & 0n^T = 0m & A[3pt] A^T & 0n = B,
isto é, B é simétrica.]

Passo 5

Para (d), tomamos A=I2. Então
B = 02 & I2[3pt] I2 & 02
Pelos itens (a) e (b), os autovalores possíveis são lambda e -lambda e satisfazem lambda^2=1. Logo
lambda = +1 ou lambda = -1
Para lambda=1, o sistema v1=v2 dá os autovetores da forma
v = u u , uinR^2setminus0
Para lambda=-1, o sistema v1=-v2 dá os autovetores
v = nu -nu , nuinR^2setminus0 ]

Resposta

(d) Os autovalores de B são
lambda1,2=+1, lambda3,4=-1
Os autovetores associados são, para lambda=1,
v=(u,u)^T, e para lambda=-1,
v=(u,-u)^T, com uinR^2setminus0.

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