Use qualquer método para determinar se a série converge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série . Esse problema cai no tema de testes de convergência de séries numéricas e, por causa do fator fatorial combinado com potência, o teste da razão é a escolha natural.
Passo 2
O teste da razão diz que, para termos , calculamos o valor
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, ela diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, definimos
ak = k!,10^k3^k
Calculamos o quociente ak+1ak = (k+1)!,10^k+1/3^k+1k!,10^k/3^k = (k+1)cdot103
Passo 4
Agora avaliamos o limite:
limk to infty (k+1)cdot103 = +infty
Como esse limite é maior que 1 (na verdade infinito), o teste da razão garante que a série diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da razão, já que o limite do quociente é infinito (maior que 1).