Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty k!10^k3^k

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumk=1^infty k!,10^k3^k. Esse problema cai no tema de testes de convergência de séries numéricas e, por causa do fator fatorial combinado com potência, o teste da razão é a escolha natural.

Passo 2

O teste da razão diz que, para termos ak, calculamos o valor
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, ela diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, definimos
ak = k!,10^k3^k
Calculamos o quociente
ak+1ak = (k+1)!,10^k+1/3^k+1k!,10^k/3^k = (k+1)cdot103

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
limk to infty (k+1)cdot103 = +infty
Como esse limite é maior que 1 (na verdade infinito), o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, já que o limite do quociente é infinito (maior que 1).

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