Seja
uma matriz
. Por que o conjunto
é linearmente dependente?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
(espaço vetorial de todas as matrizes
), a família
é linearmente dependente. Vamos usar noções de dimensão de espaço vetorial e o fato de que qualquer família com mais elementos que a dimensão do espaço não pode ser livre.
Passo 2
Uma base canônica de
é dada pelas matrizes
(com um 1 na posição
e zeros nos demais lugares), para
. Como há
dessas matrizes, temos
Passo 3
Nossa família
tem
elementos, mas
. Pelo teorema fundamental de espaços vetoriais, qualquer conjunto com mais vetores (ou matrizes) que a dimensão do espaço é necessariamente linearmente dependente.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente porque
e ele possui
matrizes.