Seja A uma matriz 3 \times 3. Por que o conjunto \left\{I, A, A^{2}, \ldots, A^{9}\right\} é linearmente dependente?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em M_3(\mathbb{K}) (espaço vetorial de todas as matrizes 3\times3), a família \{I, A, A^2,\dots,A^9\} é linearmente dependente. Vamos usar noções de dimensão de espaço vetorial e o fato de que qualquer família com mais elementos que a dimensão do espaço não pode ser livre.

Passo 2

Uma base canônica de M_3(\mathbb{K}) é dada pelas matrizes E_{ij} (com um 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares), para i,j=1,2,3. Como há 3\times3=9 dessas matrizes, temos
\dim\bigl(M_3(\mathbb{K})\bigr)=9.

Passo 3

Nossa família \{I, A, A^2,\dots,A^9\} tem 10 elementos, mas \dim(M_3(\mathbb{K}))=9. Pelo teorema fundamental de espaços vetoriais, qualquer conjunto com mais vetores (ou matrizes) que a dimensão do espaço é necessariamente linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente porque \dim(M_3(\mathbb{K}))=9 e ele possui 10 matrizes.

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