Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal
(-i)^{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as possíveis determinações de (-i)^{i} e, entre elas, identificar a determinação principal. O conteúdo envolve potenciação complexa e o uso do logaritmo complexo (multi-valorado).

Passo 2

Para números complexos z\neq0 e w, definimos
z^{w} = e^{\,w\,\Log z}
onde \Log z é o logaritmo complexo de z, dado por
\Log z = \ln\lvert z\rvert + i\bigl(\Arg z + 2\pi k\bigr),
com k\in\mathbb{Z}, e \Arg z a argumentação principal de z.

Passo 3

No nosso caso, z=-i. Calculamos
\lvert -i\rvert = 1 \qquad\text{e}\qquad \Arg(-i) = -\frac{\pi}{2}
na determinação principal. Assim, a forma geral do logaritmo é
\Log(-i) = \ln 1 + i\Bigl(-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr) = i\Bigl(-\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr).

Passo 4

Aplicando a definição com w=i, obtemos
(-i)^{i} = e^{\,i\,\Log(-i)} = e^{\,i \cdot i\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\bigr)} = e^{-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\bigr)} = e^{\tfrac{\pi}{2}-2\pi k}.
Portanto, o conjunto de todas as determinações é
\bigl\{\,e^{\tfrac{\pi}{2}-2\pi k}\;\bigm|\;k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Passo 5

A determinação principal corresponde a k=0. Logo,
(-i)^{i}\bigl|_{\text{princ.}} = e^{\tfrac{\pi}{2}}.

Resposta

O conjunto de todos os valores é \{e^{\tfrac{\pi}{2}-2\pi k}\mid k\in\mathbb{Z}\} e a determinação principal é e^{\tfrac{\pi}{2}}.

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