Sejam U e W os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{4} :
U=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{4} \mid b+c+d=0\right\}, \quad W=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{4} \mid a+b=0, c=2 d\right\}
Ache uma base e a dimensão de:
(a) U
(b) W
(c) U \cap W
(d) U+W

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^4 por condições lineares e pede base e dimensão de U, de W, de U\cap W e de U+W. O conteúdo principal é parametrizar cada espaço usando os graus de liberdade dados pelas equações, calcular dimensões e, para a soma, usar a fórmula
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).

Passo 2

Para U=\{(a,b,c,d)\mid b+c+d=0\}, resolvemos b=-c-d. Tomamos parâmetros livres a,\,c,\,d. Assim
(a,b,c,d)=(a,\,-c-d,\,c,\,d) =a\,(1,0,0,0)+c\,(0,-1,1,0)+d\,(0,-1,0,1).
Logo uma base de U é
\{(1,0,0,0),\;(0,-1,1,0),\;(0,-1,0,1)\}
e \dim(U)=3.

Passo 3

Para W=\{(a,b,c,d)\mid a+b=0,\;c=2d\}, temos b=-a e c=2d. Parâmetros livres a,\,d. Então
(a,b,c,d)=(a,-a,2d,d) =a\,(1,-1,0,0)+d\,(0,0,2,1).
Uma base de W é
\{(1,-1,0,0),\;(0,0,2,1)\}
e \dim(W)=2.

Passo 4

Para U\cap W impondo ambas condições:
b=-a,\quad c=2d,\quad b+c+d=0 \;\Longrightarrow\;-a+2d+d=0\;\Longrightarrow\;a=3d.
Logo
(a,b,c,d)=d(3,-3,2,1).
Uma base de U\cap W é \{(3,-3,2,1)\} e \dim(U\cap W)=1.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão,
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+2-1=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, conclui-se que U+W=\mathbb{R}^4. Uma base padrão de \mathbb{R}^4 serve como base de U+W, por exemplo \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.

Resposta

(a) Base de U: \{(1,0,0,0),(0,-1,1,0),(0,-1,0,1)\}, \dim(U)=3.
(b) Base de W: \{(1,-1,0,0),(0,0,2,1)\}, \dim(W)=2.
(c) Base de U\cap W: \{(3,-3,2,1)\}, \dim(U\cap W)=1.
(d) U+W=\mathbb{R}^4, \dim(U+W)=4; uma base é, por exemplo, \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}.

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