Sejam
e
os seguintes subespaços de
:
Ache uma base e a dimensão de:
(a)
(b)
(c)
(d)
Ache uma base e a dimensão de:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
por condições lineares e pede base e dimensão de
, de
, de
e de
. O conteúdo principal é parametrizar cada espaço usando os graus de liberdade dados pelas equações, calcular dimensões e, para a soma, usar a fórmula
Passo 2
Para
, resolvemos
. Tomamos parâmetros livres
. Assim
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Para
, temos
e
. Parâmetros livres
. Então
Uma base de
é
e
.
Passo 4
Para
impondo ambas condições:
Logo
Uma base de
é
e
.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão,
Como
tem dimensão 4, conclui-se que
. Uma base padrão de
serve como base de
, por exemplo
.
Resposta
(a) Base de
:
,
.
(b) Base de :
,
.
(c) Base de :
,
.
(d) ,
; uma base é, por exemplo,
.
(b) Base de
(c) Base de
(d)