Encontre as coordenadas de:
u=(1,-1) em relação à base \{(2,-4),(3,8)\} de \mathbb{R}^{2};

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar as coordenadas de \mathbf{u}=(1,-1) na base \{(2,-4),(3,8)\} de \mathbb{R}^2. Isso equivale a achar escalares a e b tais que
a\,(2,-4) \;+\; b\,(3,8) \;=\;(1,-1).

Passo 2

Escrevendo a combinação linear coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a + 3b = 1,\\\\ -4a + 8b = -1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = \frac{1 - 3b}{2}.
Substituindo na segunda:
-4\!\biggl(\frac{1 - 3b}{2}\biggr) + 8b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2(1 - 3b) + 8b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -2 + 6b + 8b = -1
14b - 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad 14b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{1}{14}.

Passo 4

Agora voltamos em a = \tfrac{1 - 3b}{2}:
a = \frac{1 - 3\,(1/14)}{2} = \frac{1 - 3/14}{2} = \frac{11/14}{2} = \frac{11}{28}.

Resposta

As coordenadas de \mathbf{u} na base dada são
\left(\frac{11}{28}, \frac{1}{14}\right).

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