Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B)
para todo
e existe
com
.
©
para todo
e existe
com
.
(D) existem
e
tais que
.
(E)
para todo
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica
de dimensão
e uma forma quadrática
. O enunciado também nos dá o espectro de
, que são os valores próprios
. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e como os valores próprios influenciam o comportamento da forma quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades bem legais, como todos os seus valores próprios serem reais e possuir uma base de vetores próprios ortogonais. Além disso, a forma quadrática
nos dá uma maneira de associar um número a cada vetor
baseado na matriz
.
Passo 3
Agora, o espectro de
é a lista de seus valores próprios. No caso, temos
. Como
é uma matriz
, esses valores próprios devem considerar multiplicidades. Mas o importante aqui é saber que todos os valores próprios são positivos.
Passo 4
Por que isso é importante? Porque o sinal dos valores próprios determina o comportamento da forma quadrática:
- Se todos os valores próprios forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
- Se todos forem não-negativos (pelo menos zero), é semidefinida positiva.
- Se tiverem sinais mistos, a forma é indefinida.
Passo 5
No nosso caso, como todos os valores próprios são positivos (
), isso significa que para qualquer vetor
, a forma quadrática
será sempre maior que zero. Ou seja,
para todo
.
Resposta
A alternativa correta é a (A)
para todo
.