Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,2, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica A de dimensão 5 times 5 e uma forma quadrática f(v) = v^T A v. O enunciado também nos dá o espectro de A, que são os valores próprios 7, 1, 2. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) é verdadeira com base nessas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas, formas quadráticas e como os valores próprios influenciam o comportamento da forma quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades bem legais, como todos os seus valores próprios serem reais e possuir uma base de vetores próprios ortogonais. Além disso, a forma quadrática f(v) = v^T A v nos dá uma maneira de associar um número a cada vetor v baseado na matriz A.

Passo 3

Agora, o espectro de A é a lista de seus valores próprios. No caso, temos 7, 1, 2. Como A é uma matriz 5 times 5, esses valores próprios devem considerar multiplicidades. Mas o importante aqui é saber que todos os valores próprios são positivos.

Passo 4

Por que isso é importante? Porque o sinal dos valores próprios determina o comportamento da forma quadrática:
  • Se todos os valores próprios forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
  • Se todos forem não-negativos (pelo menos zero), é semidefinida positiva.
  • Se tiverem sinais mistos, a forma é indefinida.

Passo 5

No nosso caso, como todos os valores próprios são positivos ( 7, 1, 2), isso significa que para qualquer vetor v neq 0, a forma quadrática f(v) será sempre maior que zero. Ou seja, f(v) > 0 para todo v neq 0.

Resposta

A alternativa correta é a (A) f(v) > 0 para todo v neq 0.

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