1. Seja V um espaço com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. A distância entre os vetores u e v em V é dada por d(u, v):=|u-v|. Mostre que:
    i) d(u, v) >= 0;
    ii) d(u, v)=0 se, e somente se, u=v;
    iii) d(u, v)=d(v, u);
    iv) d(u, v) <= d(u, w)+d(w, v).

Passo 1

O enunciado define em V (espaço com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=) a função
d(u,v):=|u-v|,
onde |x|=raizlang<= x,xrang<=. Queremos mostrar que d satisfaz as quatro propriedades de uma métrica:
  1. não-negatividade;
  2. identidade dos indiscerníveis;
  3. simetria;
  4. desigualdade triangular.
    Para isso usaremos as propriedades do norm induced pelo produto interno:
  • |x|>=0 e |x|=0iff x=0;
  • |alpha x|=|alpha|,|x|;
  • |x+y|<=|x|+|y| (desigualdade triangular, que decorre da desigualdade de Cauchy–Schwarz).

Passo 2

Para i) basta usar que, por definição de norma em espaço com produto interno,
|u-v|=raizlang<= u-v,,u-vrang<=>=0
Logo d(u,v)>=0.

Passo 3

Para ii) temos
d(u,v)=0 iff |u-v|=0 iff u-v=0 iff u=v
Isto mostra que a distância é zero exatamente quando os pontos coincidem.

Passo 4

Para iii) note que
d(u,v)=|u-v| =|-(v-u)| =|-1|,|v-u| =|v-u| = d(v,u)
Aqui usamos a homogeneidade absoluta da norma.

Passo 5

Para iv) aplicamos a desigualdade triangular da norma a x=(u-w) e y=(w-v):
d(u,v)=|u-v| =|(u-w)+(w-v)| <=|u-w|+|w-v| = d(u,w)+d(w,v)

Resposta

Mostramos que d satisfaz todas as propriedades de métrica em V:
i) d(u,v)>=0.
ii) d(u,v)=0 sse u=v.
iii) d(u,v)=d(v,u).
iv) d(u,v)<= d(u,w)+d(w,v).

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