- Seja
um espaço com produto interno
. A distância entre os vetores
e
em
é dada por
. Mostre que:
i)
;
ii)
se, e somente se,
;
iii)
;
iv)
.
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado define em
(espaço com produto interno
) a função
onde
. Queremos mostrar que
satisfaz as quatro propriedades de uma métrica:
- não-negatividade;
- identidade dos indiscerníveis;
- simetria;
- desigualdade triangular.
Para isso usaremos as propriedades do norm induced pelo produto interno:
-
e ; -
; -
(desigualdade triangular, que decorre da desigualdade de Cauchy–Schwarz).
Passo 2
Para
basta usar que, por definição de norma em espaço com produto interno,
Logo
.
Passo 3
Para
temos
Isto mostra que a distância é zero exatamente quando os pontos coincidem.
Passo 4
Para
note que
Aqui usamos a homogeneidade absoluta da norma.
Passo 5
Para
aplicamos a desigualdade triangular da norma a
e
:
Resposta
Mostramos que
satisfaz todas as propriedades de métrica em
:
i) .
ii) sse
.
iii) .
iv) .
i)
ii)
iii)
iv)