Seja A uma matriz 2 times 2. Escreva, em função das entradas de A, uma condição necessária e suficiente para que A seja não singular, e determine a expressão da matriz inversa.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2times2. O conteúdo aqui é a condição de invertibilidade de uma matriz e a fórmula da sua inversa. Para resolver, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz 2times2 e o fato de que, se det(A)neq0, então
A^-1 = 1det(A),adj(A)

Passo 2

Seja
A = a & b[6pt]c & d
O determinante de A é
det(A) = ad - bc
Pelo teorema de matrizes, A é não singular (invertível) se e somente se
ad - bc neq 0 ]

Passo 3

Quando det(A)neq0, a matriz adjunta de A (a transposta da matriz dos cofatores) é
adj(A) = d & -b[4pt]-c & a
Logo, a fórmula da inversa fica
A^-1 = 1ad - bc d & -b[4pt]-c & a ]

Resposta

A condição necessária e suficiente para A ser não singular é
ad - bc neq 0,
e, nesse caso,
A^-1 = 1ad - bc d & -b[4pt]-c & a ]

Exercícios relacionados