Sendo
e
duas matrizes
invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes invertíveis de ordem
e pergunta se a soma
é necessariamente invertível. O conteúdo envolvido é compreensão de quando a soma de duas matrizes invertíveis continua invertível e como escrever sua inversa quando existir.
Passo 2
Vamos usar a fatoração
Como
é invertível,
será invertível exatamente quando a matriz
for invertível. Em termos de autovalores, isso equivale a exigir que
não seja um autovalor de
. Nesse caso, usando a regra do produto, a inversa de
é
Passo 3
Mostramos agora que
nem sempre é invertível, mas às vezes sim, com exemplos simples:
-
Caso não invertível:
TomeEntãoque é singular. -
Caso invertível:
TomeEntãoque é invertível e
Passo 4
Concluímos que
não é necessariamente invertível. A condição exata é que
não pertença ao espectro de
; quando isso ocorre,
Resposta
A soma
pode ser singular (por exemplo,
,
) ou invertível (por exemplo,
,
). Em geral,
e, nesse caso,