Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
A+B

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes invertíveis de ordem n e pergunta se a soma A+B é necessariamente invertível. O conteúdo envolvido é compreensão de quando a soma de duas matrizes invertíveis continua invertível e como escrever sua inversa quando existir.

Passo 2

Vamos usar a fatoração
A+B ;=; Al(I + A^-1Br)
Como A é invertível, A+B será invertível exatamente quando a matriz
I + A^-1B
for invertível. Em termos de autovalores, isso equivale a exigir que -1 não seja um autovalor de A^-1B. Nesse caso, usando a regra do produto, a inversa de A+B é
(A+B)^-1 =l(I + A^-1Br)^-1A^-1

Passo 3

Mostramos agora que A+B nem sempre é invertível, mas às vezes sim, com exemplos simples:
  1. Caso não invertível:
    Tome
    A = In, B = -In
    Então
    A+B = In - In = 0,
    que é singular.
  2. Caso invertível:
    Tome
    A = In, B = 2In
    Então
    A+B = 3In,
    que é invertível e
    (A+B)^-1 = tfrac13In

Passo 4

Concluímos que A+B não é necessariamente invertível. A condição exata é que -1 não pertença ao espectro de A^-1B; quando isso ocorre,
(A+B)^-1 = l(I + A^-1Br)^-1A^-1

Resposta

A soma A+B pode ser singular (por exemplo, A=I, B=-I) ou invertível (por exemplo, A=I, B=2I). Em geral,
A+B é invertível Long<=ftrightarrow I + A^-1B é invertível Long<=ftrightarrow -1notinsigma(A^-1B), éíéí
e, nesse caso,
(A+B)^-1 = l(I + A^-1Br)^-1A^-1

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