Se o polinômio minimal de uma matriz
é
então
é:
(a) nilpotente
(b) diagonalizável
(c) não inversível
(d) triangular não diagonalizável
(e) ortogonal
(a) nilpotente
(b) diagonalizável
(c) não inversível
(d) triangular não diagonalizável
(e) ortogonal
Passo 1
O enunciado dá o polinômio minimal de uma matriz
:
Pergunta: entre as alternativas (a) nilpotente, (b) diagonalizável, (c) não inversível, (d) triangular não diagonalizável, (e) ortogonal — qual(es) é(são) verdadeiras sobre
?
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio minimal de
é . - As raízes desse polinômio são
e .
Passo 2
O que é o polinômio minimal e o que ele nos diz (aula rápida e intuitiva).
- Definição: o polinômio minimal
é o polinômio unitarário de menor grau tal que . - Propriedades úteis:
- Todas as raízes de
são autovalores (eigenvalues) de . -
divide qualquer outro polinômio com , em particular divide o polinômio característico. - A informação mais importante aqui: se o polinômio minimal se fatorar em fatores lineares distintos (sem multiplicidade), isto é, se
com todos os distintos, então é diagonalizável. Intuição: ausência de fatores repetidos significa que não há blocos de Jordan de tamanho maior que ; portanto existe uma base de autovetores que diagonaliza .
- Todas as raízes de
Aplicando ao caso dado:
é produto de dois fatores lineares distintos (
e
). Logo, pela propriedade acima,
é diagonalizável (desde que o campo contenha
e
, o que é usual).
Passo 3
Verificação de nilpotência (alternativa (a)).
- Definição:
é nilpotente se existe tal que . Isso implica que o único autovalor possível de uma matriz nilpotente é , e o polinômio minimal de uma matriz nilpotente tem a forma (alguma potência de ). - Aqui o polinômio minimal tem raízes
e , não . Portanto não pode ser nilpotente. - Conclusão: (a) é falsa.
Passo 4
Verificação de inversibilidade (alternativa (c)).
- Teorema prática:
é invertível se e somente se não é raiz do polinômio característico, equivalently não é autovalor. Como as raízes do polinômio minimal são autovalores, se aparecesse em então não seria invertível. - Aqui
tem raízes e ; não é raiz de . Logo não é autovalor, então é invertível. - Conclusão: (c) é falsa.
Passo 5
Verificação da alternativa (d): “triangular não diagonalizável”.
- Toda matriz complexa (ou real) é similar a uma matriz triangular superior (teorema de Schur / forma de Jordan), então ser triangular não é informação suficiente.
- A alternativa afirma explicitamente “não diagonalizável”. Mas do Passo 2 já concluímos que
é diagonalizável, pois tem fatores lineares distintos. Logo a afirmação “não diagonalizável” contraria isso. - Conclusão: (d) é falsa.
Passo 6
Verificação da alternativa (e): “ortogonal”.
- Definição:
é ortogonal se (ou, equivalentemente, se as colunas de formam uma base ortonormal). Isso impõe que todos os autovalores de uma matriz ortogonal têm módulo (ou sejam no caso real). - Ter o polinômio minimal
não garante ; por exemplo, a matriz diagonal tem exatamente o polinômio minimal (é diagonal, mínima polinomial tem esses fatores) e não é ortogonal (porque a coluna não tem norma multiplicada adequadamente — ou mais formalmente, porque tem módulo diferente de ). Assim, o polinômio minimal não força a ser ortogonal. - Conclusão: (e) não é necessariamente verdadeira.]
Passo 7
Resumo e decisão final.
- Do Passo 2:
tem fatores lineares distintos é diagonalizável. - Do Passos 3–6: as outras alternativas são falsas ou não necessariamente verdadeiras.
Resposta
(b) diagonalizável