Se o polinômio minimal de uma matriz A é
m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)
então A é:
(a) nilpotente
(b) diagonalizável
(c) não inversível
(d) triangular não diagonalizável
(e) ortogonal

Passo 1

O enunciado dá o polinômio minimal de uma matriz A:
m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2).
Pergunta: entre as alternativas (a) nilpotente, (b) diagonalizável, (c) não inversível, (d) triangular não diagonalizável, (e) ortogonal — qual(es) é(são) verdadeiras sobre A?
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio minimal de A é (\lambda-1)(\lambda-2).
  • As raízes desse polinômio são \lambda=1 e \lambda=2.

Passo 2

O que é o polinômio minimal e o que ele nos diz (aula rápida e intuitiva).
  • Definição: o polinômio minimal m_A(\lambda) é o polinômio unitarário de menor grau tal que m_A(A)=0.
  • Propriedades úteis:
    1. Todas as raízes de m_A são autovalores (eigenvalues) de A.
    2. m_A divide qualquer outro polinômio p com p(A)=0, em particular divide o polinômio característico.
    3. A informação mais importante aqui: se o polinômio minimal se fatorar em fatores lineares distintos (sem multiplicidade), isto é, se m_A(\lambda)=\prod_{i}(\lambda-\lambda_i)com todos os \lambda_i distintos, então A é diagonalizável. Intuição: ausência de fatores repetidos significa que não há blocos de Jordan de tamanho maior que 1; portanto existe uma base de autovetores que diagonaliza A.
Aplicando ao caso dado: m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2) é produto de dois fatores lineares distintos ( 1 e 2). Logo, pela propriedade acima, A é diagonalizável (desde que o campo contenha 1 e 2, o que é usual).

Passo 3

Verificação de nilpotência (alternativa (a)).
  • Definição: A é nilpotente se existe k tal que A^{k}=0. Isso implica que o único autovalor possível de uma matriz nilpotente é 0, e o polinômio minimal de uma matriz nilpotente tem a forma \lambda^{r} (alguma potência de \lambda).
  • Aqui o polinômio minimal tem raízes 1 e 2, não 0. Portanto A não pode ser nilpotente.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 4

Verificação de inversibilidade (alternativa (c)).
  • Teorema prática: A é invertível se e somente se 0 não é raiz do polinômio característico, equivalently 0 não é autovalor. Como as raízes do polinômio minimal são autovalores, se 0 aparecesse em m_A então A não seria invertível.
  • Aqui m_A tem raízes 1 e 2; 0 não é raiz de m_A. Logo 0 não é autovalor, então A é invertível.
  • Conclusão: (c) é falsa.

Passo 5

Verificação da alternativa (d): “triangular não diagonalizável”.
  • Toda matriz complexa (ou real) é similar a uma matriz triangular superior (teorema de Schur / forma de Jordan), então ser triangular não é informação suficiente.
  • A alternativa afirma explicitamente “não diagonalizável”. Mas do Passo 2 já concluímos que A é diagonalizável, pois m_A tem fatores lineares distintos. Logo a afirmação “não diagonalizável” contraria isso.
  • Conclusão: (d) é falsa.

Passo 6

Verificação da alternativa (e): “ortogonal”.
  • Definição: A é ortogonal se A^{T}A=I (ou, equivalentemente, se as colunas de A formam uma base ortonormal). Isso impõe que todos os autovalores de uma matriz ortogonal têm módulo 1 (ou sejam \pm 1 no caso real).
  • Ter o polinômio minimal (\lambda-1)(\lambda-2) não garante A^{T}A=I; por exemplo, a matriz diagonal \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}tem exatamente o polinômio minimal (\lambda-1)(\lambda-2) (é diagonal, mínima polinomial tem esses fatores) e não é ortogonal (porque a coluna (0,1)^T não tem norma 1 multiplicada adequadamente — ou mais formalmente, porque 2 tem módulo diferente de 1). Assim, o polinômio minimal não força A a ser ortogonal.
  • Conclusão: (e) não é necessariamente verdadeira.]

Passo 7

Resumo e decisão final.
  • Do Passo 2: m_A(\lambda) tem fatores lineares distintos \Rightarrow A é diagonalizável.
  • Do Passos 3–6: as outras alternativas são falsas ou não necessariamente verdadeiras.

Resposta

(b) diagonalizável

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