Seja
e seja
a projeção estereográfica que parametriza a semi-esfera
ou seja, a função
Demonstre que
para qualquer ponto de
. (Sugestão: Na página 831 do livro de Pita já aparecem os vetores
calculados.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a projeção estereográfica que mapeia pontos do conjunto $ S = {(u, v) \mid u^{2} + v^{2} \leq 1} $ para a semi-esfera $ K = {(x, y, z) \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, \ z \geq 0} $ usando a função $ \mathbf{f}(u, v) $. A nossa missão é mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $ e $ v $ nunca é o vetor zero para qualquer ponto em $ S $. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ \mathbf{f}(u, v) $. A função está definida como:
Essa função mapeia cada ponto $ (u, v) $ no disco $ S $ para um ponto na semi-esfera $ K $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $ e $ v $.
Primeiro, a derivada parcial de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $:
Simplificando cada componente:
Simplificando mais:
Agora, a derivada parcial de $ \mathbf{f} $ em relação a $ v $:
Passo 4
Agora que temos $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial u} $ e $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial v} $, vamos calcular o produto vetorial entre eles:
Onde $ D = 1 + u^{2} + v^{2} $.
Calculando o determinante:
Passo 5
Simplificando cada componente:
Para $ \mathbf{i} $:
Para $ \mathbf{j} $:
Para $ \mathbf{k} $:
Observando que $ (1 - u^{2} + v{2}){2} = 1 + u^{4} + v^{4} - 2u^{2} + 2v^{2} - 2u{2}v{2} $, e simplificando:
Resposta
Portanto, o produto vetorial $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial v} $ resulta em um vetor diferente de $ (0, 0, 0) $ para qualquer ponto em $ S $. Isso confirma que a projeção estereográfica é regular em todos os pontos de $ S $.