Seja S=(u, v) mid u^2+v^2 <= 1 e seja f: S R^3 a projeção estereográfica que parametriza a semi-esfera
K=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2=1, z >= 0
ou seja, a função
f(u, v)=(2 u1+u^2+v^2, 2 v1+u^2+v^2, 1-u^2-v^21+u^2+v^2)
Demonstre que
partial fpartial u times partial fpartial v neq(0,0,0)
para qualquer ponto de S. (Sugestão: Na página 831 do livro de Pita já aparecem os vetores partial fpartial u e partial fpartial v calculados.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a projeção estereográfica que mapeia pontos do conjunto $ S = {(u, v) \mid u^{2} + v^{2} \leq 1} $ para a semi-esfera $ K = {(x, y, z) \mid x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, \ z \geq 0} $ usando a função $ \mathbf{f}(u, v) $. A nossa missão é mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $ e $ v $ nunca é o vetor zero para qualquer ponto em $ S $. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ \mathbf{f}(u, v) $. A função está definida como:
f(u, v)
Essa função mapeia cada ponto $ (u, v) $ no disco $ S $ para um ponto na semi-esfera $ K $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $ e $ v $.
Primeiro, a derivada parcial de $ \mathbf{f} $ em relação a $ u $:
f
Simplificando cada componente:
u
Simplificando mais:
v
Agora, a derivada parcial de $ \mathbf{f} $ em relação a $ v $:
f

Passo 4

Agora que temos $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial u} $ e $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial v} $, vamos calcular o produto vetorial entre eles:
partial fpartial u
Onde $ D = 1 + u^{2} + v^{2} $.
Calculando o determinante:
partial fpartial v

Passo 5

Simplificando cada componente:
Para $ \mathbf{i} $:
i
Para $ \mathbf{j} $:
-4uv cdot -4vD^4 - -4u cdot 2(1 - v^2 + u^2)D^4 = 16u v^2D^4 + 8u(1 - v^2 + u^2)D^4 = 8u(2v^2 + 1 + u^2 - v^2)D^4 = 8u(1 + u^2 + v^2)D^4 = 8uD^2
Para $ \mathbf{k} $:
j
Observando que $ (1 - u^{2} + v{2}){2} = 1 + u^{4} + v^{4} - 2u^{2} + 2v^{2} - 2u{2}v{2} $, e simplificando:
2(1 - u^2 + v^2) cdot -4vD^4 - -4u cdot -4uvD^4 = -8v(1 - u^2 + v^2)D^4 - 16u^2vD^4 = -8v(1 - u^2 + v^2 + 2u^2)D^4 = -8v(1 + u^2 + v^2)D^4 = -8vD^2

Resposta

Portanto, o produto vetorial $ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial v} $ resulta em um vetor diferente de $ (0, 0, 0) $ para qualquer ponto em $ S $. Isso confirma que a projeção estereográfica é regular em todos os pontos de $ S $.

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