Mostre que a imagem de descreve os pontos da superfície
e que
para um número finito de pontos de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício pede pra gente analisar uma função vetorial que mapeia pontos do domínio para o espaço . A gente precisa mostrar duas coisas:
Que a imagem dessa função descreve uma superfície específica , que é definida pela equação com .
Que o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e é zero só em um número finito de pontos no domínio.
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais e produto vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a imagem da função está na superfície .
Vamos tomar um ponto qualquer na imagem de , que é . Agora, vamos verificar se esse ponto satisfaz a equação da superfície :
Substituindo e :
Simplificando:
Como , temos:
E isso é exatamente a terceira componente da nossa função ! Portanto, todo ponto na imagem de satisfaz a equação .
Além disso, como varia em , varia em , então varia de a , respeitando a condição .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois o produto vetorial dessas derivadas.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
Calculando o determinante:
i ( v cos u cdot (-2v) - 0 cdot sin u ) - j ( -v sin u cdot (-2v) - 0 cdot cos u ) + k ( -v sin u cdot sin u - v cos u cdot cos u )
Simplificando cada componente:
Componente i:
v cos u cdot (-2v) = -2v^2 cos u
Componente j:
- ( -v sin u cdot (-2v) ) = -2v^2 sin u
Componente k:
- v sin^2 u - v cos^2 u = -v (sin^2 u + cos^2 u) = -v
Portanto, o produto vetorial fica:
partial fpartial u times partial fpartial v = (-2v^2 cos u, -2v^2 sin u, -v)
Passo 4
Queremos mostrar que esse produto vetorial é igual a (0, 0, 0) apenas em um número finito de pontos do domínio S = [0, 2pi] times [0,1].
Vamos igualar cada componente a zero:
-2v^2 cos u = 0
-2v^2 sin u = 0
-v = 0
Da terceira equação, temos imediatamente v = 0.
Agora, vamos verificar as outras duas com v = 0:
-2(0)^2 cos u = 0 ✓
-2(0)^2 sin u = 0 ✓
Então, o único ponto em que o produto vetorial é zero ocorre quando v = 0. O parâmetro u pode variar em [0, 2pi], mas independente do valor de u, desde que v = 0, o produto vetorial será zero.
No domínio S, v varia de 0 a 1. Portanto, o conjunto de pontos onde v = 0 é uma linha reta no domínio, onde u pode ser qualquer valor em [0, 2pi]. Contudo, a questão pede para mostrar que o produto vetorial é zero em um número finito de pontos.
Aqui, vemos que para todo u em [0, 2pi] com v = 0, o produto vetorial é zero. Então, na verdade, temos infinitos pontos onde isso ocorre, não um número finito.
Parece que há um equívoco na formulação do problema ou na interpretação. Se considerarmos pontos isolados, o produto vetorial não é zero, salvo onde v = 0, que é uma linha inteira.
Resposta
Após análise, verificamos que a imagem da função f(u, v) descreve a superfície K definida por z = 1 - x^2 - y^2 com 0 <= z <= 1. Além disso, o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v é igual a (0, 0, 0) somente quando v = 0, o que ocorre ao longo de toda a linha v = 0 no domínio S. Portanto, o produto vetorial é zero em uma linha infinita de pontos, não em um número finito.