Seja f:[0,2 pi] times[0,1] R^3 a função
f(u, v)=(v cos u, v sen v, 1-v^2)
Mostre que a imagem de f descreve os pontos da superfície
K=(x, y, z) mid z=1-x^2-y^2, 0 <= z <= 1,
e que
partial fpartial u times partial fpartial v=(0,0,0)
para um número finito de pontos de S=[0,2 pi] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede pra gente analisar uma função vetorial f(u, v) que mapeia pontos do domínio [0, 2pi] times [0,1] para o espaço R^3. A gente precisa mostrar duas coisas:
  1. Que a imagem dessa função descreve uma superfície específica K, que é definida pela equação z = 1 - x^2 - y^2 com 0 <= z <= 1.
  2. Que o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v é zero só em um número finito de pontos no domínio.
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais e produto vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a imagem da função f(u, v) = (v cos u, v sin u, 1 - v^2) está na superfície K = (x, y, z) mid z = 1 - x^2 - y^2, 0 <= z <= 1.
Vamos tomar um ponto qualquer na imagem de f, que é (x, y, z) = (v cos u, v sin u, 1 - v^2). Agora, vamos verificar se esse ponto satisfaz a equação da superfície K:
z = 1 - x^2 - y^2
Substituindo x = v cos u e y = v sin u:
z = 1 - (v cos u)^2 - (v sin u)^2
Simplificando:
z = 1 - v^2 (cos^2 u + sin^2 u)
Como cos^2 u + sin^2 u = 1, temos:
z = 1 - v^2
E isso é exatamente a terceira componente da nossa função f(u, v)! Portanto, todo ponto na imagem de f satisfaz a equação z = 1 - x^2 - y^2.
Além disso, como v varia em [0,1], v^2 varia em [0,1], então z = 1 - v^2 varia de 0 a 1, respeitando a condição 0 <= z <= 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a u e v, e depois o produto vetorial dessas derivadas.
Primeiro, a derivada parcial de f em relação a u:
partial fpartial u = (-v sin u, v cos u, 0)
Em seguida, a derivada parcial de f em relação a v:
partial fpartial v = (cos u, sin u, -2v)
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
partial fpartial u times partial fpartial v = i & j & k - v sin u & v cos u & 0 cos u & sin u & -2v
Calculando o determinante:
i ( v cos u cdot (-2v) - 0 cdot sin u ) - j ( -v sin u cdot (-2v) - 0 cdot cos u ) + k ( -v sin u cdot sin u - v cos u cdot cos u )
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
v cos u cdot (-2v) = -2v^2 cos u
  • Componente j:
- ( -v sin u cdot (-2v) ) = -2v^2 sin u
  • Componente k:
- v sin^2 u - v cos^2 u = -v (sin^2 u + cos^2 u) = -v
Portanto, o produto vetorial fica:
partial fpartial u times partial fpartial v = (-2v^2 cos u, -2v^2 sin u, -v)

Passo 4

Queremos mostrar que esse produto vetorial é igual a (0, 0, 0) apenas em um número finito de pontos do domínio S = [0, 2pi] times [0,1].
Vamos igualar cada componente a zero:
  1. -2v^2 cos u = 0
  2. -2v^2 sin u = 0
  3. -v = 0
Da terceira equação, temos imediatamente v = 0.
Agora, vamos verificar as outras duas com v = 0:
  1. -2(0)^2 cos u = 0
  2. -2(0)^2 sin u = 0
Então, o único ponto em que o produto vetorial é zero ocorre quando v = 0. O parâmetro u pode variar em [0, 2pi], mas independente do valor de u, desde que v = 0, o produto vetorial será zero.
No domínio S, v varia de 0 a 1. Portanto, o conjunto de pontos onde v = 0 é uma linha reta no domínio, onde u pode ser qualquer valor em [0, 2pi]. Contudo, a questão pede para mostrar que o produto vetorial é zero em um número finito de pontos.
Aqui, vemos que para todo u em [0, 2pi] com v = 0, o produto vetorial é zero. Então, na verdade, temos infinitos pontos onde isso ocorre, não um número finito.
Parece que há um equívoco na formulação do problema ou na interpretação. Se considerarmos pontos isolados, o produto vetorial não é zero, salvo onde v = 0, que é uma linha inteira.

Resposta

Após análise, verificamos que a imagem da função f(u, v) descreve a superfície K definida por z = 1 - x^2 - y^2 com 0 <= z <= 1. Além disso, o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v é igual a (0, 0, 0) somente quando v = 0, o que ocorre ao longo de toda a linha v = 0 no domínio S. Portanto, o produto vetorial é zero em uma linha infinita de pontos, não em um número finito.

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