Seja A=(x, y) in R^2 mid 0<raizx^2+y^2+2 y+1<1. Verificar se os pontos
(0,-12) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

O enunciado define
A = (x,y)inR^2 mid 0<raizx^2+y^2+2y+1<1
e pede para verificar se o ponto (0,-tfrac12) é ponto de acumulação de A.
Conteúdo: pontos de acumulação em R^2. Vamos precisar da definição de ponto de acumulação e de interpretação geométrica da condição 0<raizx^2+y^2+2y+1<1.

Passo 2

Reescrevemos o radicando:
x^2 + y^2 +2y +1 = x^2 + (y+1)^2
Logo
A = (x,y)mid 0<raizx^2+(y+1)^2<1

Passo 3

Geometricamente, raizx^2+(y+1)^2 é a distância de (x,y) ao centro (0,-1). Assim
A = PinR^2mid 0<dist(P,(0,-1))<1
é o disco aberto de raio 1 centrado em (0,-1), sem o ponto central.

Passo 4

Definição de ponto de acumulação: P0 é ponto de acumulação de A se, para todo r>0,
l(B(P0,r)setminusP0r)cap Aneqvarnothing
Em particular, todo ponto interior de A (isto é, que tenha alguma bola B(P0,de<a)subset A) é ponto de acumulação.

Passo 5

Tomemos P0=(0,-tfrac12). A distância de P0 a (0,-1) é
dist(P0,(0,-1)) =raiz0^2+l(-tfrac12+1r)^2 =tfrac12,
que satisfaz 0<tfrac12<1. Logo P0in A. Além disso, como P0 está a uma distância tfrac12 do centro, basta escolher de<a<tfrac12 para garantir
B(P0,de<a)subsetPmiddist(P,(0,-1))<1=Acup(0,-1),
mas (0,-1)notin A, então B(P0,de<a)subset A. Assim todo disco centrado em P0 e raio menor que tfrac12 fica dentro de A, e em particular cada B(P0,r)setminusP0 contém pontos de A. Portanto P0 é ponto de acumulação de A.

Resposta

Sim, (0,-tfrac12) é ponto de acumulação de A.

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