Seja
. Verificar se os pontos
são pontos de acumulação de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se o ponto
é ponto de acumulação de
.
Conteúdo: pontos de acumulação em . Vamos precisar da definição de ponto de acumulação e de interpretação geométrica da condição
.
Conteúdo: pontos de acumulação em
Passo 2
Reescrevemos o radicando:
Logo
Passo 3
Geometricamente,
é a distância de
ao centro
. Assim
é o disco aberto de raio 1 centrado em
, sem o ponto central.
Passo 4
Definição de ponto de acumulação:
é ponto de acumulação de
se, para todo
,
Em particular, todo ponto interior de
(isto é, que tenha alguma bola
) é ponto de acumulação.
Passo 5
Tomemos
. A distância de
a
é
que satisfaz
. Logo
. Além disso, como
está a uma distância
do centro, basta escolher
para garantir
mas
, então
. Assim todo disco centrado em
e raio menor que
fica dentro de
, e em particular cada
contém pontos de
. Portanto
é ponto de acumulação de
.
Resposta
Sim,
é ponto de acumulação de
.