Seja A=(x, y) in R^2 mid 0<raizx^2+y^2+2 y+1<1. Verificar se os pontos
(0,-1) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

O enunciado define
A = (x,y)in R^2 mid 0 < raizx^2 + y^2 + 2y + 1 < 1
e pergunta se (0,-1) é ponto de acumulação de A. O conteúdo é topologia em R^2: vizinhanças, distância euclidiana e definição de ponto de acumulação.

Passo 2

Observe que
x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + (y+1)^2,
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raizx^2 + y^2 + 2y + 1 = raiz(x-0)^2 + (y+1)^2

Passo 3

Podemos reescrever
A = (x,y)in R^2 mid 0 < raiz(x-0)^2 + (y+1)^2 < 1,
isto é, A é o disco aberto centrado em (0,-1) de raio 1, com o próprio centro excluído.

Passo 4

Lembrando a definição: um ponto pin R^2 é de acumulação de A se, para todo varepsilon>0,
l(B(p;varepsilon)setminuspr)cap Aneqemptyset,
onde B(p;varepsilon) é a bola aberta de raio varepsilon centrada em p.

Passo 5

Seja varepsilon>0. Defina
de<a = minltfracvarepsilon2,,tfrac12r>0
e considere o ponto
q = (de<a,,-1)
Então
|q-(0,-1)| = de<a <= tfracvarepsilon2 < varepsilon,
ou seja qin B((0,-1);varepsilon). Além disso
raiz(qx-0)^2 + (qy+1)^2 = raizde<a^2 + 0^2 = de<a
satisfaz 0<de<a<1, logo qin A. Assim
qin l(B((0,-1);varepsilon)setminus(0,-1)r)cap A
e esse conjunto não é vazio para todo varepsilon>0.

Passo 6

Concluímos que (0,-1) satisfaz a definição de ponto de acumulação de A.

Resposta

O ponto (0,-1) é ponto de acumulação de A.

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