O enunciado pede para definir o conceito de conjunto aberto. Esse conteúdo faz parte de topologia em espaços métricos, então vamos precisar da noção de espaço métrico, de bola aberta (ou vizinhança) de um ponto e do conceito de ponto interior a um conjunto.
Passo 2
Seja um espaço métrico, ou seja, é um conjunto e
é uma função que satisfaz os axiomas de não-negatividade, identidade, simetria e desigualdade triangular. Para cada ponto e cada raio definimos a bola aberta de centro e raio por
Passo 3
Chamamos um ponto de ponto interior de se existe tal que
Ou seja, em torno de cabe inteiramente uma bola aberta que permanece dentro de .
Passo 4
Finalmente, dizemos que é aberto quando todo ponto de é ponto interior de . Em particular, em com a distância euclidiana
vale a mesma definição de conjunto aberto utilizando bolas abertas nessa métrica.
Resposta
Um subconjunto U de um espaço métrico (X,d) é dito aberto se, para todo ponto xin U, existe varepsilon>0 tal que
B(x,varepsilon)=,yin Xmid d(y,x)<varepsilonsubset U