Defina:
Conjunto aberto

Passo 1

O enunciado pede para definir o conceito de conjunto aberto. Esse conteúdo faz parte de topologia em espaços métricos, então vamos precisar da noção de espaço métrico, de bola aberta (ou vizinhança) de um ponto e do conceito de ponto interior a um conjunto.

Passo 2

Seja (X,d) um espaço métrico, ou seja, X é um conjunto e
d: X times X to R
é uma função que satisfaz os axiomas de não-negatividade, identidade, simetria e desigualdade triangular. Para cada ponto x0in X e cada raio varepsilon>0 definimos a bola aberta de centro x0 e raio varepsilon por
B(x0,varepsilon) =,xin Xmid d(x,x0)<varepsilon

Passo 3

Chamamos um ponto xin Usubset X de ponto interior de U se existe varepsilon>0 tal que
B(x,varepsilon)subset U
Ou seja, em torno de x cabe inteiramente uma bola aberta que permanece dentro de U.

Passo 4

Finalmente, dizemos que Usubset X é aberto quando todo ponto de U é ponto interior de U. Em particular, em R^n com a distância euclidiana
d(x,y)=raizsumi=1^n(xi-yi)^2,
vale a mesma definição de conjunto aberto utilizando bolas abertas nessa métrica.

Resposta

Um subconjunto U de um espaço métrico (X,d) é dito aberto se, para todo ponto xin U, existe varepsilon>0 tal que
B(x,varepsilon)=,yin Xmid d(y,x)<varepsilonsubset U

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