Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número complexo
Informações dadas: o número complexo de base é
e o expoente é
. Precisamos encontrar o valor numérico de
. Não vamos supor nada além disso.
Passo 2
Vamos escrever
em forma polar (módulo e argumento). Primeiro, calculamos o módulo
de um número complexo
, cuja fórmula é
Aqui
e
. Então
Passo 3
Agora encontramos o argumento
do número
. A fórmula básica é
, mas para números simples podemos usar
ajustando o quadrante. Aqui
pois
e
(quadrante IV), então o argumento principal é
.
Passo 4
Escrevemos o número em forma trigonométrica (forma cis):
Aqui explique:
é o módulo
e
é o argumento
.
Passo 5
Recordando a 1ª fórmula de Moivre: para todo inteiro
,
Ao combinar com o fator radial, se
então
vale também para expoentes inteiros negativos (simplesmente
com
).
Passo 6
Aplicamos a fórmula com
,
e
:
Calcule o argumento multiplicado:
Portanto
Passo 7
Avalie as funções trigonométricas em
:
Assim
Passo 8
Agora calculamos a potência do módulo:
Sabendo que
e
, obtemos
Portanto
e com o sinal negativo do passo anterior: