Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
z=(3-3 i)^{-12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
z=(3-3 i)^{-12}.
Informações dadas: o número complexo de base é 3-3 i e o expoente é -12. Precisamos encontrar o valor numérico de z. Não vamos supor nada além disso.

Passo 2

Vamos escrever 3-3 i em forma polar (módulo e argumento). Primeiro, calculamos o módulo r de um número complexo x+iy, cuja fórmula é
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=3 e y=-3. Então
r=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.

Passo 3

Agora encontramos o argumento \theta do número 3-3 i. A fórmula básica é \theta=\operatorname{atan2}(y,x), mas para números simples podemos usar \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) ajustando o quadrante. Aqui
\theta=\arctan\!\left(\frac{-3}{3}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4},
pois x>0 e y<0 (quadrante IV), então o argumento principal é -\pi/4.

Passo 4

Escrevemos o número em forma trigonométrica (forma cis):
3-3 i = 3\sqrt{2}\big(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\big).
Aqui explique: 3\sqrt{2} é o módulo r e -\tfrac{\pi}{4} é o argumento \theta.

Passo 5

Recordando a 1ª fórmula de Moivre: para todo inteiro n,
\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).
Ao combinar com o fator radial, se z=r(\cos\theta+i\sin\theta) então
z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big),
vale também para expoentes inteiros negativos (simplesmente r^n com n<0).

Passo 6

Aplicamos a fórmula com r=3\sqrt{2}, \theta=-\tfrac{\pi}{4} e n=-12:
(3-3 i)^{-12}=(3\sqrt{2})^{-12}\big(\cos(-12\cdot(-\tfrac{\pi}{4}))+i\sin(-12\cdot(-\tfrac{\pi}{4}))\big).
Calcule o argumento multiplicado:
-12\cdot\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)=3\pi.
Portanto
(3-3 i)^{-12}=(3\sqrt{2})^{-12}\big(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)\big).

Passo 7

Avalie as funções trigonométricas em 3\pi:
\cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1,\qquad \sin(3\pi)=0.
Assim
(3-3 i)^{-12}=(3\sqrt{2})^{-12}\big(-1+ i\cdot 0\big)=-(3\sqrt{2})^{-12}.

Passo 8

Agora calculamos a potência do módulo:
(3\sqrt{2})^{12}=3^{12}\big(\sqrt{2}\big)^{12}=3^{12}\cdot 2^{6}.
Sabendo que 3^{12}=531441 e 2^{6}=64, obtemos
(3\sqrt{2})^{12}=531441\cdot 64=34012224.
Portanto
(3\sqrt{2})^{-12}=\frac{1}{34012224},
e com o sinal negativo do passo anterior:
(3-3 i)^{-12}=-\frac{1}{34012224}.

Resposta

-\dfrac{1}{34012224}

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