Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações dadas que vamos usar:
e
são números complexos em forma cartesiana
. O problema pede o valor exato de
.
Passo 2
Vamos usar a 1ª fórmula de De Moivre. Primeiro explico o que é e por que ela funciona (aula rápida e informal).
A 1ª fórmula de De Moivre diz que, se um número complexo tem forma polar
A 1ª fórmula de De Moivre diz que, se um número complexo tem forma polar
então sua potência inteira
é
Aqui
é o módulo (
) e
é o argumento (ângulo) do número complexo. Em palavras: elevando à potência só elevamos o módulo e multiplicamos o ângulo por
. Isso é ótimo quando
, porque então a potência preserva o módulo e só altera o ângulo.
Passo 3
Convertemos cada base para a forma polar
.
Para
:
calcule o módulo
calcule o módulo
O argumento
é o ângulo cujo cosseno é
e seno é
. Esse par
corresponde a
(ou equivalentemente
, mas vamos escolher
por simplicidade). Logo
Passo 4
Agora aplicamos De Moivre à primeira potência. Como o módulo é
, só multiplicamos o ângulo por
:
Calcule o ângulo:
. Reduzimos ao intervalo canônico somando
(ou seja, somando
):
Portanto
Passo 5
Avalie os valores trigonométricos para esse ângulo: sabemos que
Logo
Passo 6
Agora a segunda base
. Primeiro módulo:
O argumento
tem cosseno
e seno
. Esse par corresponde a
. Então
Passo 7
Aplicamos De Moivre para a potência
:
Calcule o ângulo:
.
Reduzimos módulo . Note que
(pois
), e
é múltiplo de
, então o ângulo equivalente é
. Assim
Reduzimos módulo
Passo 8
Avalie os valores trigonométricos em
:
Portanto
Passo 9
Agora volte à expressão original e substitua os resultados obtidos:
Simplifique: