Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
\mathrm{z}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{7}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathrm{z}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{7}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{10}.
Informações dadas que vamos usar:
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} e \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} são números complexos em forma cartesiana a+\mathrm{i}b. O problema pede o valor exato de \mathrm{z}.

Passo 2

Vamos usar a 1ª fórmula de De Moivre. Primeiro explico o que é e por que ela funciona (aula rápida e informal).
A 1ª fórmula de De Moivre diz que, se um número complexo tem forma polar
r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta),
então sua potência inteira n é
\bigl(r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo ( r=\sqrt{a^2+b^2}) e \theta é o argumento (ângulo) do número complexo. Em palavras: elevando à potência só elevamos o módulo e multiplicamos o ângulo por n. Isso é ótimo quando r=1, porque então a potência preserva o módulo e só altera o ângulo.

Passo 3

Convertemos cada base para a forma polar r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta).
Para \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}:
calcule o módulo
r=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
O argumento \theta é o ângulo cujo cosseno é \frac{1}{\sqrt{2}} e seno é -\frac{1}{\sqrt{2}}. Esse par (\cos\theta,\sin\theta)=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) corresponde a \theta=-\dfrac{\pi}{4} (ou equivalentemente 7\pi/4, mas vamos escolher -\dfrac{\pi}{4} por simplicidade). Logo
\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}=\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Agora aplicamos De Moivre à primeira potência. Como o módulo é 1, só multiplicamos o ângulo por 7:
\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{7} =\cos\!\left(7\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(7\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).
Calcule o ângulo: 7\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{7\pi}{4}. Reduzimos ao intervalo canônico somando 2\pi (ou seja, somando \dfrac{8\pi}{4}):
-\frac{7\pi}{4} + 2\pi = -\frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.
Portanto
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{7} =\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Avalie os valores trigonométricos para esse ângulo: sabemos que
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{7}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Agora a segunda base \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}. Primeiro módulo:
r=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1.
O argumento \theta tem cosseno -\frac{1}{\sqrt{2}} e seno \frac{1}{\sqrt{2}}. Esse par corresponde a \theta=\frac{3\pi}{4}. Então
-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 7

Aplicamos De Moivre para a potência 10:
\left(\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)^{10} =\cos\!\left(10\cdot\frac{3\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(10\cdot\frac{3\pi}{4}\right).
Calcule o ângulo: 10\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{30\pi}{4}=\frac{15\pi}{2}.
Reduzimos módulo 2\pi. Note que \dfrac{15\pi}{2} = 6\pi + \dfrac{3\pi}{2} (pois 6\pi=\dfrac{12\pi}{2}), e 6\pi é múltiplo de 2\pi, então o ângulo equivalente é \dfrac{3\pi}{2}. Assim
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{10}=\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right).

Passo 8

Avalie os valores trigonométricos em \dfrac{3\pi}{2}:
\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.
Portanto
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^{10}=0+\mathrm{i}(-1)=-\mathrm{i}.

Passo 9

Agora volte à expressão original e substitua os resultados obtidos:
\mathrm{z}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)-\bigl(-\mathrm{i}\bigr).
Simplifique:
\mathrm{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}}+\mathrm{i} =\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{i}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right)

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