Seja .
(a) Mostre que é base de .
(b) Escreva as coordenadas de com relação à base .
Passo 1
O enunciado pede para o espaço vetorial (polinômios de grau ) mostrar que é base de e em seguida expressar o polinômio em coordenadas nessa base. Para isso vamos usar que e o critério de base por independência linear.
Passo 2
Como , basta verificar que os quatro vetores de são linearmente independentes. Se eles forem LI então automaticamente formam base.
Passo 3
Considere uma combinação linear genérica igual a zero:
Expandindo e agrupando termos em potências de
Dessa forma (c_{3}=0,;c_{4}=0,;c_{2}=0,;c_{1}=0]. Logo só há a combinação trivial, e os vetores são LI.
Passo 4
Concluímos que é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em espaço de dimensão , logo é base de .
Passo 5
Para expressar
na base procuramos escalares tais que
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo e igualando coeficientes de cada potência de
Logo o sistema é
Daí . Substituindo em dá . E em vem .
Resposta
(a) B é base de V.
(b) As coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 na base B são