Seja V=P3(R).
(a) Mostre que B=1,2+x, 3 x-x^2, x-x^3 é base de V.
(b) Escreva as coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 com relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede para o espaço vetorial V=P3(R) (polinômios de grau <=3) mostrar que
B=,1,;2+x,;3x - x^2,;x - x^3 é base de V e em seguida expressar o polinômio
p(x)=1+x+x^2+x^3 em coordenadas nessa base. Para isso vamos usar que dim V=4 e o critério de base por independência linear.

Passo 2

Como dim V=4, basta verificar que os quatro vetores de B são linearmente independentes. Se eles forem LI então automaticamente formam base.

Passo 3

Considere uma combinação linear genérica igual a zero:
Expandindo e agrupando termos em potências de
Dessa forma (c_{3}=0,;c_{4}=0,;c_{2}=0,;c_{1}=0]. Logo só há a combinação trivial, e os vetores são LI.

Passo 4

Concluímos que B é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em espaço de dimensão 4, logo B é base de V.

Passo 5

Para expressar
p(x)=1+x+x^2+x^3
na base B procuramos escalares a,b,c,d tais que
acdot 1 ;+; bcdot(2+x);+;ccdot(3x - x^2);+;dcdot(x - x^3) ;=; 1 + x + x^2 + x^3

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo e igualando coeficientes de cada potência de
Logo o sistema é
Daí . Substituindo em . E em vem .

Resposta

(a) B é base de V.
(b) As coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 na base B são
[p]B = (-9,;5,;-1,;-1)

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