Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V sobre o corpo K em questão (K=R ou K=C), nos seguintes casos:
V=F(R, R) e S=f in V ; f(0)=f(1), K=R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = F(R, R)
é um espaço vetorial sobre K=R (o que já sabemos que é verdade) e se
S = ,fin V mid f(0)=f(1)
é um subespaço de V. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero de V está em S.
  2. S é fechado sob soma de funções.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero 0, definida por 0(x)=0 para todo x, pertence a S. Como
0(0)=0 e 0(1)=0,
vemos que 0(0)=0(1). Logo 0in S.

Passo 3

Pegue f,gin S. Então por definição
f(0)=f(1) e g(0)=g(1)
Queremos mostrar que (f+g)in S. Calculamos
(f+g)(0)=f(0)+g(0) e (f+g)(1)=f(1)+g(1)
Como f(0)=f(1) e g(0)=g(1), segue
f(0)+g(0)=f(1)+g(1),
isto é, (f+g)(0)=(f+g)(1). Portanto f+gin S.

Passo 4

Pegue fin S e um escalar alphainR. Como f(0)=f(1), temos
(alpha f)(0)=alpha,f(0) e (alpha f)(1)=alpha,f(1)
Então
alpha,f(0)=alpha,f(1) ;Longrightarrow; (alpha f)(0)=(alpha f)(1),
logo alpha fin S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de V.

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