Seja V=F(R, C) o C-espaço vetorial de todas as funções de R em C. Prove que f1, f2, f3 é l.i. em V onde f1, f2, f3 são dadas respectivamente por 1, e^i x, e^-i x para cada x in R.

Passo 1

Vamos mostrar que as funções
f1(x)=1, f2(x)=e^ix, f3(x)=e^-ix
são linearmente independentes em V=F(R,C). Isso significa provar que, se existirem escalares a,b,cinC tais que
a,f1(x)+b,f2(x)+c,f3(x)=0
para todo xinR, então necessariamente a=b=c=0.

Passo 2

Suponha que existam a,b,cinC com
a + b,e^ix + c,e^-ix = 0
para todo xinR. Em particular, ao avaliar em x=0 e x=pi obtemos duas equações simples:
  • Para x=0:
a + b + c = 0
  • Para x=pi:
a + b,e^ipi + c,e^-ipi = a - b - c = 0

Passo 3

Somando as duas igualdades de Passo 2,
(a + b + c) + (a - b - c) = 0 + 0 Longrightarrow 2a = 0 Longrightarrow a = 0
Substituindo a=0 em a + b + c = 0 segue
b + c = 0 Longrightarrow c = -,b

Passo 4

Com a=0 e c=-b, a identidade
a + b,e^ix + c,e^-ix = 0
torna-se
b,e^ix - b,e^-ix = 0 Longrightarrow bl(e^ix-e^-ixr)=0 Longrightarrow 2,i,b,sin(x)=0
para todo x. Escolhendo, por exemplo, x=pi/2, temos sin(pi/2)=1neq0, o que força b=0. Logo c=-b=0.

Resposta

Da hipótese chegamos a a=0, b=0 e c=0. Portanto f1,f2,f3 é linearmente independente em V.

Exercícios relacionados