Seja
o
-espaço vetorial de todas as funções de
em
. Prove que
é l.i. em
onde
são dadas respectivamente por
para cada
.
Passo 1
Vamos mostrar que as funções
são linearmente independentes em
. Isso significa provar que, se existirem escalares
tais que
para todo
, então necessariamente
.
Passo 2
Suponha que existam
com
para todo
. Em particular, ao avaliar em
e
obtemos duas equações simples:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Somando as duas igualdades de Passo
,
Substituindo
em
segue
Passo 4
Com
e
, a identidade
torna-se
para todo
. Escolhendo, por exemplo,
, temos
, o que força
. Logo
.
Resposta
Da hipótese chegamos a
,
e
. Portanto
é linearmente independente em
.