Seja um subconjunto de .
(a) é um conjunto l.i.?
(b) Decida se pertence ao subespaço gerado por .
(Considere como espaço vetorial sobre e sobre ).
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em :
Precisamos (a) decidir se é linearmente independente e (b) verificar se
pertence ao subespaço gerado por , tanto visto como espaço sobre quanto sobre .
Passo 2
Para testar independência sobre , montamos a matriz cujas colunas são e calculamos seu determinante:
Um cálculo direto mostra det M=0. Logo, sobre C há combinação linear não trivial, e v1,v2,v3 é dependente.
Passo 3
Sobre R separamos partes real e imaginária. Escrevendo Re(vj)inR^3 e Im(vj)inR^3, a relação alpha v1+beta v2+gamma v3=0 equivale a um sistema real de 6 equações em alpha,beta,gamma. Resolvendo, obtemos apenas a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Portanto, sobre R o conjunto é linearmente independente.
Passo 4
Para (b) em C basta achar a,binC tais que
a,v1+b,v2=w
Das equações coordenada a coordenada surge
a=i^-1(3+i-2b), a(1-i)+b=4,2a-ib=2,
cuja solução é
a=1+i, b=2
Logo winspanCv1,v2,v3.
Passo 5
Para o caso real, escrevemos a combinação
Da segunda parte vem . Logo não há solução real, e
Resposta
(a) Sobre C: dependente. Sobre R: independente.
(b) Em C^3 visto como espaço sobre C: sim, w pertence ao subespaço. Visto sobre R: não, w não pertence.