Seja B=(i, 1-i, 2),(2,1,-i)(5-2 i, 4,-1-i) um subconjunto de C^3.
(a) B é um conjunto l.i.?
(b) Decida se (3+i, 4,2) pertence ao subespaço gerado por B.
(Considere C^3 como espaço vetorial sobre C e sobre R ).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em C^3:
v1=(i,,1-i,,2), v2=(2,,1,,-i), v3=(5-2i,,4,,-1-i)
Precisamos (a) decidir se v1,v2,v3 é linearmente independente e (b) verificar se
w=(3+i,,4,,2)
pertence ao subespaço gerado por v1,v2,v3, tanto visto como espaço sobre C quanto sobre R.

Passo 2

Para testar independência sobre C, montamos a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3 e calculamos seu determinante:
M= i & 2 & 5-2i 1-i & 1 & 4 2 & -i & -1-i
Um cálculo direto mostra det M=0. Logo, sobre C há combinação linear não trivial, e v1,v2,v3 é dependente.

Passo 3

Sobre R separamos partes real e imaginária. Escrevendo
Re(vj)inR^3 e Im(vj)inR^3, a relação
alpha v1+beta v2+gamma v3=0 equivale a um sistema real de 6 equações em alpha,beta,gamma. Resolvendo, obtemos apenas a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Portanto, sobre R o conjunto é linearmente independente.

Passo 4

Para (b) em C basta achar a,binC tais que
a,v1+b,v2=w
Das equações coordenada a coordenada surge
a=i^-1(3+i-2b), a(1-i)+b=4,2a-ib=2,
cuja solução é
a=1+i, b=2
Logo winspanCv1,v2,v3.

Passo 5

Para o caso real, escrevemos a combinação
Da segunda parte vem . Logo não há solução real, e

Resposta

(a) Sobre C: dependente. Sobre R: independente.
(b) Em C^3 visto como espaço sobre C: sim, w pertence ao subespaço. Visto sobre R: não, w não pertence.

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